大学化学, 2016, 31(2): 34-37 doi: 10.3866/PKU.DXHX20160234

自学之友

关于教材中热力学第二定律的若干逻辑问题

刘国杰, 史济斌,

About Some Logical Problems for the Second Law of Thermodynamics in Textbooks

LIU Guo-Jie, SHI Ji-Bin,

通讯作者: 史济斌, Email:shijb@ecust.edu.cn

摘要

指出了一些物理化学教材在叙述热力学第二定律时存在的若干逻辑问题,表明它们违反了逻辑学中的同一律、不矛盾律和充足理由律。并从历史的角度简述了Carnot循环和Carnot机效率公式的由来。

关键词: Carnot循环 ; Carnot机效率 ; 逻辑规律

Abstract

There exist logical problems in the explanation of the second law of thermodynamics in some physical chemistry textbooks.It was shown that these explanations contradicted the law of identity, the law of non-contradiction and the law of sufficient reason in logic.The origin of the Carnot cycle and the efficiency of a Carnot engine were introduced from the historical view.

Keywords: Carnot cycle ; Efficiency of a Carnot engine ; Logical laws

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刘国杰, 史济斌. 关于教材中热力学第二定律的若干逻辑问题. 大学化学[J], 2016, 31(2): 34-37 doi:10.3866/PKU.DXHX20160234

LIU Guo-Jie, SHI Ji-Bin. About Some Logical Problems for the Second Law of Thermodynamics in Textbooks. University Chemistry[J], 2016, 31(2): 34-37 doi:10.3866/PKU.DXHX20160234

热力学是一门十分讲究逻辑的科学,它不仅要求概念明确,判断恰当,推理合乎逻辑,而且论证要有说服力[1]。因此,它必须遵守4条逻辑规律,即同一律、不矛盾律、排中律和充足理由律[2]。可是,目前出版的不少物理化学教材在叙述热力学第二定律时,常定义工作物质为理想气体,并依次经历恒温(T1)可逆膨胀、绝热可逆膨胀、恒温(T2)可逆压缩、绝热可逆压缩构成的循环为Carnot循环,还说这就是1824年Carnot在研究热机效率时提出的理想热机。于是,由热力学第一定律中的理想气体热力学过程就可导出Carnot机效率公式:

$\eta = \frac{{{T_1} - {T_2}}}{{{T_1}}}$

这样定义的Carnot循环与历史事实并不相符,更重要的是,它会引起若干逻辑上的混乱。本文将对教材中出现的这些问题展开讨论。

1 3个逻辑问题

1.1 问题一

在导得式(1)后,有些教材便进一步将它与热机效率的定义式

$\eta \mathop = \limits^{{\rm{def}}} \frac{{ - W}}{{{Q_1}}} = \frac{{{Q_1} + {Q_2}}}{{{Q_1}}} = 1 + \frac{{{Q_2}}}{{{Q_1}}}$

相结合,从而得到:

$\frac{{{Q_1}}}{{{T_1}}} + \frac{{{Q_2}}}{{{T_2}}} = 0$

在式(2)和式(3)中-W为热机所做的功,Q1Q2分别为热机与高温和低温热源交换的热量。据此,得出了这样的结论:认为式(3)中不涉及工作物质的具体性质,因此它适用于任何一种工作物质,并认为此式是导出熵的依据,具有重要的意义。

显而易见,这一结论违反了逻辑学上的不矛盾律。因为这个规律指出“同一对象,在同一时间和同一关系下,不能具有两种互相矛盾的性质”[2]。由上述可见,式(1)是在以理想气体为工作物质的前提下导得的,它与式(2)结合所得的式(3)怎么会适用于任何工作物质呢?这显然是矛盾的。事实上,由此得到的式(3)也只不过是一个适用于理想气体的关系式,它与具有普遍意义的热力学函数熵的导出还相去甚远。

1.2 问题二

更令人难以接受的是,个别教材在用上述方法导得Carnot机效率公式(式(1))后,竟得出这样的结论:认为热机的效率仅与热源的温度有关,两个热源的温差越大,效率越高;若温差为0,效率亦为0。因此,热机不可能由单一热源获取热量来做功。这个结论不正是热力学第二定律的Kelvin说法吗?如果这一结论成立,岂不是说,热力学第二定律可由热力学第一定律导出。显然,这是不可能的。

那么,问题出在哪里呢?在于它违反了逻辑学中的充足理由律。这条规律简言之可表述成这样的形式:“所以有A,是因为有B”,其中B是A成立的充足理由[2]。上述结论就是将热机不可能由单一热源获取热量来做功的充足理由归结于它的效率可用式(1)来表示。现在的问题就在于式(1)是怎样得到的?

且不说式(1)仅适用于可逆热机,最重要的是,式(1)是求助于理想气体过程导得的,它的工作物质是理想气体。将这样一个特例推广到一般,其理由是不充足的,所得结论也难以令人信服。应该指出,如果要将式(1)推广到一切可逆热机,没有Carnot定理是行不通的。换句话说,没有热力学第二定律是得不到这个结论的。

1.3 问题三

许多教材在用上述方法导得式(1)后,便试图用它来证明Carnot定理——所有工作于两个一定温度的热源之间的热机,以可逆热机的效率为最大。证明的方法是传统的反证法[3]:设在同一高温与低温热源之间,有A和B两台热机,若A机为可逆机,且A和B两机向高温热源吸收相同的热量,则将A机逆转,且与B机相联,便构成一台联合机。于是,不难证明,B机的效率不可能大于A机的效率,因为如果ηB>ηA,联合机的运行便违背了热力学第二定律的Kelvin说法,因此,只能是ηBηA。同理,若B机是可逆机,则ηAηB。故当A机和B机都是可逆机时,应得ηA=ηB

应该指出,这里所指的可逆机就是Carnot机,并且是与工作物质无关的。但这些教材所谓的Carnot机却是以理想气体作为工作物质,两者不是同一个概念。逻辑学指出,“正确的思维,要求概念明确,不能含混”[1]。“在进行论断和推理的过程中,每一个概念都应当在同一的意义上来使用”[2]。这就是所谓的“同一律”。显而易见,这些教材违反了这一规律。

2 几点说明

下面从历史和教学的角度,对Carnot循环和Carnot机效率作几点说明。

2.1 Carnot循环

1824年,Carnot在研究热机的效率时提出了一条著名的定理,这就是上面所述的Carnot定理。为了证明这条定理,他将热机的运作理想化地概括成由下列4步完成:第一步是工作物质在恒温下向高温热源吸热;第二步是工作物质在绝热的条件下膨胀,推动活塞做功;第三步是工作物质在恒温下向低温热源放热;第四步是绝热压缩,使工作物质返回原态,从而完成一个循环。当这4步都可逆进行时,这个可逆循环便是Carnot循环,相应的热机便是可逆机,或称Carnot机。但是,他并没有指明工作物质是什么。这是由于受“热质论”的影响,Carnot[4]认为,热机之所以做功,与水力机十分相似,是依靠高温热源与低温热源间的温度差,以及在其间流动的“热质”来做功的,就像水力机是依靠高位与低位水的落差及其间流动着的水来做功一样。因此,热机做功必须有两个热源,且它们之间的温度差越大,效率越高,而与工作物质无关。因为按照“热质论”,热机做功依靠的是“热质”的流动,故将Carnot循环的工作物质指定为理想气体是不符合Carnot原意的。

更重要的是,用来证明Carnot定理的Carnot循环或Carnot机根本用不着指明工作物质是什么,指定理想气体为工作物质完全是画蛇添足,是没有必要的。

2.2 Carnot机效率

虽然将Carnot循环的工作物质指定为理想气体会使Carnot机效率公式的推导变得简便,因为这样就可以利用热力学第一定律中的理想气体热力学过程导出这个公式。但是,从历史的角度看,这是不可能的,且不说在1824年,理想气体状态方程还不完善,热力学第一定律也还没有建成,Carnot本人是不可能用这种方法来推导的,即使是Carnot在世的年代(1796-1832年)也没有出现这个公式[5]

这个公式的建立应归功于Kelvin[6]。首先,他坚信Carnot定理是正确的。1848年,他根据这条定理得出,Carnot机的效率仅与两个热源的温度有关,而与工作物质的性质及所吸收的热量和所做的功的多少无关。据此,他提出了一个热力学温标,并导出关系式:

$ - \frac{{{Q_2}}}{{{Q_1}}} = \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}$

式中T1T2分别为高温和低温热源的热力学温度。

于是,将式(4)代入热机效率的定义式(式(2)),便可得Carnot机效率的公式(式(1))。这样导得的式(1)便不再拘泥于理想气体,而是适用于所有工作物质。

后来,Clausius更将Carnot定理表示为:

$\eta = \frac{{{Q_1} + {Q_2}}}{{{Q_1}}} \le \frac{{{T_1} - {T_2}}}{{{T_1}}}$

这才给Carnot的工作画上了圆满的句号。

但是从教学的角度看,目前大部分物理化学教材都不介绍温标,且习以为常地将理想气体温标混同热力学温标,故Carnot机效率公式的推导都是借助于工作物质为理想气体的Carnot循环。但应指出,这有一个重要的前提,就是必须在证明了Carnot定理之后。因为这个定理指出,Carnot机效率仅是两个热源温度的函数,而与工作物质无关,故对于任何工作物质,导得的Carnot机效率公式都应一样。既然如此,显然是用理想气体作为工作物质最为简便,因为它有最简单的状态方程。利用这个方法不难证明热力学温标与理想气体温标的温度值相等[7]

3 结论

综上所述,本文的结论是:

1)在Carnot循环的定义中,不应指定工作物质是什么。Carnot所提出的理想化热机,不是指工作物质为理想气体的热机。

2)热力学第二定律的关键内容是Carnot定理。Clausius和Kelvin正是在纠正Carnot对这一定理的证明方法时,提出了热力学第二定律的两个经典说法。因此,我们建议,在教材中叙述热力学第二定律时,最好将Carnot定理放在Carnot热机效率公式导出之前介绍,这样可避免出现上述逻辑问题。

参考文献

倪鼎夫; 张家龙; 刘培育. 逻辑入门, 第3版 北京: 人民出版社, 1984,

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寿望斗. 逻辑与数学教学, 北京: 科学出版社, 1979,

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王竹溪. 热力学简程, 北京: 人民教育出版社, 1984,

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Spsskiǐ B.I. ; Sarangov T.S. Soviet Physics Uspekhi 1970, 12 (5), 684.

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杨基芳; 黄高年. 物理学发展简史, 北京: 知识出版社, 1983,

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冯端; 冯少彬. 渊源探幽:熵的世界, 北京: 科学出版社, 2005,

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Klotz, I. M. ; Rosenberg, R. M.化学热力学.第3版.鲍银堂,译.北京:人民教育出版社, 1981.

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