化学反应工程是化学工程的核心，是实现物质转化最重要的环节，其基本任务是根据过程需要设计合理的反应器，实现过程经济性、安全性和环境友好要求^[1]。对理想反应器的认识和掌握则是实现反应器设计和操作的基础和出发点。理想反应器的基本形式有间歇操作的釜式反应器(BatchReactor，BR)、全混流反应器(Continuous Stirred Tank Reactor，CSTR)以及平推流反应器(Plug FlowReactor，PFR)三种^{[2, 3]}。这三种反应器的形式和操作方式各异，因此很多学生在学习过程中往往将它们机械和孤立地予以对待。但是这些理想反应器之间有着内在联系，是一个有机的整体。而认识这些内在联系，对于理想反应器和后续反应器停留时间分布的学习以及深入理解传递过程和返混等物理因素对化学反应的影响有重要的帮助。本文试图从理想反应器的时间和空间特性出发，探讨它们之间的这种内在联系。

BR和PFR无论在反应器形式(BR是釜式反应器而PFR为管式反应器)还是操作方式(BR为间歇操作而PFR为连续操作的反应器)方面都有着显著的差别，但二者却有着相同形式的数学模型：

(1) $t = - \int_{{c_{A0}}}^{{c_{Af}}} {{{d{c_A}} \over {\left( { - {r_A}} \right)}}\left| { = {c_{A0}}\int_0^{{x_{Af}}} {{{d{x_A}} \over {\left( { - {r_A}} \right)}}} } \right.} $

式(1)中，t为停留时间，c_A0为关键组分A的初始浓度，c_A和x_A分别为A的浓度和转化率，c_Af和x_Af分别为A的最终浓度和最终转化率，(－r_A)则为A的反应速率。二者相同的数学形式表明BR和PFR反应器之间有着内在联系。需要指出的是，停留时间t不是一般意义上的时间变量。对于BR反应器，停留时间t为反应开始到结束的时间；而对于CSTR和PFR等连续操作的理想反应器，t为反应器体积(V_R)与反应物料体积流量(v₀)的比值。

图1为PFR反应器的示意图。在长度为L的PFR反应器任意位置l处截面上截取一个厚度为dl、体积为dVR的流体“微元”。当dl趋近无穷小，l和l + dl处流体的摩尔流量和组成的变化可以忽略。另外，根据平推流模型假设，PFR反应器的径向不存在浓度和温度梯度^[3]。在这样一个微小反应器内，物料完全均匀混合，所有状态参数也完全相同，出口和入口的流量相等，没有累积，稳态操作。因此该微元可以设想为一个体积为dVR的微小CSTR反应器，那么PFR反应器就可以看作轴向上无穷多段微小CSTR反应器的串联。

图2为针对同一反应PFR反应器和多段串联CSTR反应器图解计算示意图，图中曲线为1/(－r_A)-c_A动力学曲线。PFR反应器停留时间t_PFR为动力学曲线在c_Af－c_A0区间内所围面积，而每一段CSTR反应器对应的停留时间可用小矩形的面积表示，n段CSTR反应器总的停留时间则为各段反应器停留时间的加和。由图2可以看出，当无穷多段CSTR反应器串联时，即d_cA趋近无穷小时，多段串联CSTR反应器等效为PFR反应器。

对于BR反应器，截取反应过程中任意瞬间dt。当dt趋近无穷小时，反应器内物料组成随时间的变化可以忽略，这一瞬间BR反应器等效为CSTR反应器。也就是说BR反应器可以看作在时间坐标轴上沿图2所示动力学曲线无穷多段CSTR反应器的串联。从时空特性来看，BR反应器为完全混合的釜式反应器，在任一瞬间反应器内每一点性质完全相同，不随空间发生变化^{[2, 3]}；BR同时为间歇操作的反应器，状态随时间变化，是时变反应器。PFR反应器为连续操作反应器，工作在稳定状态，不随时间发生变化；但在轴向上每个位置状态都不相同，即反应器状态随空间而发生变化。CSTR反应器为连续操作的完全混合釜式反应器，反应器状态不随空间也不随时间而变化。根据以上讨论，可以形象地将CSTR反应器看作电影中的每一帧。将这些“帧”在时间轴上串联起来，就“变成了”动态的BR反应器；而将这些“帧”在空间上串联起来，则“变成了”拷贝，也就是随空间变化的PFR反应器。由于理想反应器数学模型只是对始态和终态的一个描述，不显含时间和空间等变量，因此BR反应器和PFR反应器表现出了相同的数学形式。就像通过放映机，静态的拷贝变成了动态的影像。二者是无穷多段串联CSTR反应器在空间或时间维度上的体现。

多段串联CSTR反应器在理想反应器之间的桥梁和纽带作用还体现在其停留时间分布的特征方面。多段串联CSTR反应器中流体停留时间分布函数的无因次方差σ² = 1/N，即段数N的倒数。当N = 1时，为CSTR反应器；而当N → ∞时，σ² → 0，体现出PFR和BR反应器的停留时间分布特征。另外一个联系各理想反应器的的特殊反应器是循环操作的PFR反应器。循环操作的PFR反应器本质上仍是一个PFR反应器。因此当循环比β为0时，该反应器就是一个PFR反应器；而当β → ∞时，反应器出口和入口流体组成差别趋于无穷小，反应器内物料趋于完全混合，这时循环操作的PFR反应器可以看作CSTR反应器。很多教材^{[2, 3]}和文献^{[4, 5]}都详细探讨了多段串联的CSTR反应器停留时间分布特征，一个重要的原因是非理想反应器的串级模型就是建立在多段串联CSTR反应器基础上的。但是对于循环操作的PFR反应器停留时间分布很少见诸报道，只有为数不多的教材做了简要的定性描述^{[2, 6]}。因此本文针对循环操作的PFR反应器停留时间分布特征进行理论推导，为模型的结论提供数学理论依据。

用阶跃示踪法测定循环操作的PFR反应器停留时间分布函数F(t)。如图3所示，假设反应器的循环比为β，反应器体积为V_R，流体由反应器出口返回到入口的时间为0，示踪剂浓度为c₀，反应器入口的示踪剂浓度为c′₀。

流体流动稳定后，有v₀ = v_f，则v′ = βv_f = βv₀。令V_R/v₀ = t₀，则循环反应器内流体的停留时间t′₀ =V_R/[v₀(1 + β)] = t₀/(1 + β)。在0时刻切换到示踪剂浓度为c₀的流体，在反应器入口与由出口循环回入口的流体v′混合后，示踪剂浓度为：

(2) $c{'_0} = {{{v_0}{c_0}} \over {{v_0} + v'}} = {{{v_0}{c_0}} \over {{v_0} + \beta {v_0}}} = {{{v_0}{c_0}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}} = {{{c_0}} \over {\left( {1 + \beta } \right)}}$

由平推流反应器停留时间分布特征，当t < t₀时，F(t) = 0；当t = t₀/(1 + β)时，c_f和F₁(t)分别为：

(3) ${c_f} = {{{c_0}} \over {\left( {1 + \beta } \right)}}$

(4) ${F_1}\left( t \right) = {c_f}/{c_0} = {1 \over {\left( {1 + \beta } \right)}}$

同时，入口示踪剂浓度变为：

(5) $c{'_0} = {{{v_0}{c_0} + v'{c_f}} \over {{v_0} + v'}} = {{{v_0}{c_0} + \beta {v_0}{{{c_0}} \over {\left( {1 + \beta } \right)}}} \over {{v_0} + \beta {v_0}}} = {{{c_0}} \over {\left( {1 + \beta } \right)}} + {{\beta {c_0}} \over {{{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}$

当t = 2t₀/(1 + β)时，c_f和F₂(t)分别为：

(6) ${c_f} = {{{c_0}} \over {\left( {1 + \beta } \right)}} + {{\beta {c_0}} \over {{{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}$

(7) ${F_2}\left( t \right) = {c_f}/{c_0} = {1 \over {\left( {1 + \beta } \right)}} + {\beta \over {{{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}$

依此类推，t = nt₀/(1 + β)时，F_n(t)为：

(8) ${F_n} = \sum\limits_{m = 1}^n {{{{\beta ^{m - 1}}} \over {{{\left( {1 + \beta } \right)}^m}}}} $

令 $q = {\beta \over {\left( {1 + \beta } \right)}}$ ，则式(8)可看作首项为1 ${1 \over {\left( {1 + \beta } \right)}}$ ，公比为q的等比数列求和问题，因此：

(9) ${F_n}\left( t \right) = {1 \over {\left( {1 + \beta } \right)}}{{\left( {1 - {q^n}} \right)} \over {1 - q}} = {1 \over {\left( {1 + \beta } \right)}}{{\left( {1 - {q^n}} \right)} \over {1 - {1 \over {1 + \beta }}}} = 1 - {q^n} = 1 - {\left( {{\beta \over {1 + \beta }}} \right)^n}$

无因次化的F(θ)函数与函数关系为F(θ) = F(t)，所以：

(10) ${F_n}\left( \theta \right) = {F_n}\left( t \right) = 1 - {\left( {{\beta \over {1 + \beta }}} \right)^n}$

用脉冲示踪法测定循环操作的PFR反应器停留时间分布密度函数E(t)。流动稳定后，在0时刻注入Q mol示踪剂，则在t = t₀/(1 + β)时，测得的反应器出口示踪剂浓度为：

(11) ${c_{f1}} = {Q \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}}$

该时刻随循环返回入口的示踪剂量Q₁为：

(12) ${Q_1} = {\beta \over {\left( {1 + \beta } \right)}}Q$

在t = 2t₀/(1 + β)时，测得的反应器出口示踪剂浓度为：

(13) ${c_{f2}} = {{{Q_1}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}} = {{Q\beta } \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}$

依此类推，t = nt₀/(1 + β)时，c_fn为：

(14) ${c_{fn}} = {{Q{\beta ^{n - 1}}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^n}}}$

按照离散量处理:

(15) ${E_n}\left( t \right) = {{{c_{fn}}} \over {\sum\limits_{m = 1}^\infty {{c_{fm}}\Delta t} }}$

由于Δt = t₀/(1 + β)，则：

(16) $\sum\limits_{m = 1}^\infty {{c_{fm}}\Delta t} = \mathop \sum \limits_{m = 1}^\infty {{Q{\beta ^{m - 1}}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^m}}}{{{t_0}} \over {1 + \beta }} = \mathop \sum \limits_{m = 1}^\infty {{Q{t_0}{\beta ^{m - 1}}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^{m + 1}}}}$

式(16)为首项为 ${{Q{t_0}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}$ ，公比为q或β/(1 + β)的等比数列，对前N项求和可得：

(17) $\mathop \sum \limits_{m = 1}^N {{Q{t_0}{\beta ^{m - 1}}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^{m + 1}}}} = {{Q{t_0}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}{{\left[ {1 - {q^N}} \right]} \over {1 - q}} = {{Q{t_0}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}}\left( {1 - {q^N}} \right)$

由于q小于1，因此当N→∞时，(1 － q^N ) → 1，即：

(18) $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \mathop \sum \limits_{m = 1}^N {{Q{t_0}{\beta ^{m - 1}}} \over {{v_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^{m + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {{Q{t_0}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}}\left( {1 - {q^N}} \right) = {{Q{t_0}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}}$

将式(14)和式(18)带入式(15)，可得：

(19) ${E_n}\left( t \right) = {{{c_{fn}}} \over {\mathop \sum \limits_{m = 1}^N {c_{fm}}\Delta t}} = {{{{Q{\beta ^{m - 1}}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)n}}} \over {{{Q{t_0}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}}}} = {{{\beta ^{n - 1}}} \over {{v_0}\left( {1 + \beta } \right)}}$

无因次化E(θ)函数和E(t)函数间关系为E(θ) = tE(t) ，其中t= t₀ (1 + β) ，因此：

(20) ${E_n}\left( \theta \right) = {{{t_0}} \over {1 + \beta }}{{{\beta ^{n - 1}}} \over {{t_0}{{\left( {1 + \beta } \right)}^{n - 1}}}} = {{{\beta ^{n - 1}}} \over {{{\left( {1 + \beta } \right)}^n}}}$

由式(10)和式(20)可以看出，循环操作PFR反应器的F函数和E函数都唯一地取决于循环比β。根据式(10)，图4示出了不同循环比的循环操作PFR反应器F(θ)曲线。作为对比，还示出了对应的CSTR反应器停留时间分布曲线。由图4可以看出，当β = 0时，反应器为PFR反应器，其F(θ)曲线表现出PFR反应器停留时间分布特征。随着β逐渐增加，循环操作PFR反应器的F(θ)曲线逐渐逼近CSTR反应器的F(θ)曲线。当β > 20的时候，基本可以看作CSTR反应器。可以看出，同多段串联的CSTR反应器类似，循环操作的PFR反应器也是介于CSTR反应器与PFR反应器之间的桥梁。

最后，可以用图5简要总结各理想反应器之间的关系。PFR和BR反应器数学模型形式相同，但PFR是随空间变化的反应器，BR则是时变反应器；PFR和CSTR操作形式相同，都为连续操作的反应器，因此反应器内的状态不随时间发生变化；而BR和CSTR反应器则同为完全混合的釜式反应器，反应器状态不随空间发生变化。多段串联的CSTR反应器和循环操作的PFR反应器则是介于CSTR与PFR反应器之间的桥梁，可以通过调节反应器段数和循环比实现两种反应器之间的转化。而这种转化，正是源自理想反应器之间的内在时空联系。由以上讨论还可以看出，BR反应器可以看作是“单纯”地随时间变化的反应器，而平推流反应器则是“单纯”地随空间变化的反应器。实际反应器要复杂得多，不再是简单地只随时间或空间变化。比如对于轴向扩散模型，不仅考虑反应器状态随空间的变化，还考虑了由轴向扩散引起的径向上反应物料停留时间的变化。