根据量子力学基本假设，微观体系的运动状态可以用波函数来描述，波函数决定着微观体系全部可观测的性质。在结构化学教学中，波函数的性质既是教学的一个重点，也是教学的难点。波函数图形可以方便直观地展示波函数性质，进而帮助学生理解微观粒子运动规律，在结构化学教学中是不可缺少的^[1]。

在结构化学教学中，涉及了一些波函数的3D图，如原子轨道、分子轨道、二维势箱、三维势箱等，绘制这些波函数的3D图有多种方法，如应用数据绘图软件Origin、MATLAB、三维构建软件3Dmax、POVRAY和分子模拟软件GaussView等，这些软件绘制图形的共同缺点是只能生成静态的3D图，即使在绘图中找到最合适的观测角度，仅凭静态图形也难以展示波函数完整的3D结构特点。这些软件虽然可以在绘制3D图时调整观察角度，但软件操作复杂，难以实现在课堂演示或让学生在课下自己观察。

VRML (虚拟现实)技术可以方便地采用交互方式展现各种角度的函数3D图、便于网络传输、支持交互和多种平台(除PC外，目前已支持Apple iOS和Android系统)等优点。本文将介绍采用共享程序，通过简单流程生成VRML格式波函数3D图的方法。

SurfX3D (Surface Explorer 3D) ^[2]是C. Dailey个人编制的、绘制函数3D表面图的共享软件，它可以支持VRML、POV、DXF等格式的输出，并可以通过函数控制3D图表面的颜色，其所绘制的函数可支持以下三种形式：

1) Parametric     x, y, z (u, v)

2) Explicit     z= f (x, y)

3) Implicit     f (x, y, z) = 0

以二、三维势箱的网格图和轮廓图来说明生成VRML格式波函数3D图的方法如下：

二维势箱波函数$ \psi(x, y)=\frac{2}{\sqrt{a b}} \sin \left(n_{x} \pi x / a\right) \sin \left(n_{y} \pi x / b\right)$，如绘制$ \psi_{21}$(n_x = 2，n_y = 1)，可设二维势箱箱长分别为a = 2和b = 3，则$ \psi_{21}=\frac{2}{\sqrt{6}} \sin (\pi x) \sin (\pi y / 3)$，选用显函数(Explicit)方程式，在函数处输入z(x, y) = 2/6^0.5*sin(2*pi*x/2)*sin(pi*y/3)(软件中只输入等号后的部分即可)，设置x和y的范围分别为0–2和0–3，z范围为−1 – 1，网格数x, y方向均为30，鼠标单击Draw按钮即可绘制出$ \psi_{21}$的网格图。选用Enable Color Surface可以进一步设置函数表面的颜色，根据教学需要，对$ \psi_{21}$为正时设置为红色，$ \psi_{21}$为负时为蓝色，$ \psi_{21}$为零时为白色，颜色随$ \psi_{21}$值呈梯度变化，这样就可以定义颜色函数部分分别为：

R(x, y, z) = 50*(abs(z)+z)/(abs(z))+(50-abs(z)*61.3)*(abs(z)-z)/abs(z)

G(x, y, z) = 100-abs(z)*122.47

B(x, y, z) = 50*(abs(z)-z)/(abs(z))+(50-abs(z)*61.3)*(abs(z)+z)/abs(z)

为方便日后修改，绘制时的各种参数可保存为X3D格式的文件，只要使用SurfX3D打开就可以直接得到前面画好的函数3D图。绘制完成后可输出为VRML格式，就可以初步得到$ \psi_{21}$的VRML格式函数图(图1)。

为保证观看效果，确保视角合适，旋转方便，可在输出的VRML文件头部增加导航节点、视点节点如下：

Viewpoint { position 1.2 1.5 40.000 fieldOfView 0.10}

NavigationInfo { type ["EXAMINE""ANY"] }

也可以增加相应的坐标轴，最终效果如图2a所示，同样的方法可以绘制H原子轨道网格图、H原子电子云网格图、H₂⁺xy平面波函数以及H₂⁺电子云分布差值图(图2b)等。

三维方箱VRML格式轮廓图同样可以用SurfX3D产生，以ψ₂₂₂(n_x = 2，n_y = 2，n_z = 2)为例，波函数$ \psi_{222}(x, y, z)=(2 / l)^{3 / 2} \sin (2 \pi x / l) \sin (2 \pi y / l) \sin (2 \pi z / l)$，设方箱箱长为1，采用隐函数(Implicit)形式输入ψ₂₂₂函数：

F(x, y, z) = (0.5/2^0.5*sin(2*pi*x)*sin(2*pi*y)*sin(2*pi*z)-0.02)

可绘制出ψ₂₂₂=0.02的轮廓图，因波函数的值为正，线的颜色可设置为红色，不显示表面颜色，可输出ψ₂₂₂位相为正的部分，输出为VRML格式；更改函数为：

F(x, y, z) = (0.5/2^0.5*sin(2*pi*x)*sin(2*pi*y)*sin(2*pi*z)+0.02)

可绘制出ψ₂₂₂=-0.02的轮廓图，因波函数的值为负，线的颜色设置为蓝色，输出为VRML格式；将两个VRML文件合并，修饰增加坐标轴，即可以得到三维势箱ψ₂₂₂的VRML轮廓图(图2c)。这种方法也可以用来绘制原子轨道的轮廓图，但由于原子轨道函数复杂，绘制不便，建议采用下节的方法

Orbital Viewer是D. Manthey个人编制的、绘制原子轨道波函数轮廓图的共享软件^{[3, 4]}，该软件使用方便，只要将各个量子数输入，即可生成原子轨道轮廓图，如对4d_z2轨道，只要在Display-Orbitals…菜单下将n = 4, l = d, m = 0输入即可绘制出4d_z2原子轨道轮廓图，通过设置Polygon选项中Psi^2 probability大小，可调整轮廓图中|ψ|²的取值(调整胖瘦)，设置轨道正负位相的颜色即可得到如图3a的轮廓图，该轮廓图可以直接保存为VRML 1.0的文件。

用文本编辑软件将输出的VRML 1.0的文件中的部分语句更改为VRML 2.0格式：

添加坐标轴和导航节点、视点节点，即可得到原子轨道VRML轮廓图(图3b)。

Orbital Viewer也可以绘制分子轨道的轮廓图，但随原子数增加，绘制时坐标选取和轨道系数输入比较复杂，对分子轨道，可采用量子化学计算+分子模拟软件显示生成的流程制作VRML分子轨道轮廓图。其中输出VRML的分子模拟软件采用共享软件Molden，Molden基于X-Win，可以显示Gaussian，GAMESS等量子化学计算的结果^[5]。

制作分子轨道VRML轮廓图具体流程如下：

1)用HyperChem构建分子结构，保存为MOL格式(MDL MOL)；

2)用GaussView软件打开，结构数据保存为GJF格式；

3)编辑GJF文件，选择保存CHK文件(如%chk = butadiene.chk)，采用半经验量子化学AM1方法优化(#AM1 OPT)，保存GJF文件后用Gauss09W计算；

4) GaussView打开CHK文件，Results-Surfaces/Contours，Cube Actions选择New Cube，选择相应的分子轨道(如HOMO、LUMO或某个确定的分子轨道)确认，软件计算相应的Cube数据，选择计算产生的Cube数据，Cube Actions选择Save Cube，保存为Cube文件(也可以直接在GJF文件中加输出Cube文件的关键词)；

5)打开Molden (X-Win环境下，需要预先安装X-win)软件，选择Dens. Mode；

6)选择Rd/Wr Cube，依次选择“Read”“Gaussian”；

7)输入Cube文件名(包括盘符和目录，要按照Linux格式，如：“I:/butadiene_mo11.cub”)；

8)选择Apply，Molden窗口将出现该分子轨道图，如生成的分子轨道Contour值太大(分子轨道显得太瘦)可减小Contour值(如将默认的0.1改为0.05)，Molden主窗口将显示该分子轨道的图形，点击输出VRML按钮，选择VRML 2.0，在[VR file]对话框内输入VRML名称和路径，点Apply，将在指定目录生成该分子轨道的VRML文件，显示效果见图4。

Molden生成的分子轨道VRML文件可无须修饰直接用于教学，在展示分子轨道时，鼠标单击轨道的界面可以将分子轨道调整为透明。

上述制作波函数VRML文件的方法流程简单，不需要复杂的编码过程，生成的VRML文件可以通过在计算机上安装cortona3d-viewer ^[6]浏览器插件来观看，VRML文件使用方法可参考作者之前发表的文章^[7]。这些VRML波函数3D图已经在南开大学结构化学教学中应用多年，教学效果良好。上文中提到的各类VRML 3D波函数图可以在南开大学结构化学网站^[8]下载直接使用。