溶液法测定偶极矩是大学物理化学的一个经典实验。前人从实验的改进、误差的处理等方面对该实验作了很多探讨^[1–9]。本实验所采用的原理(公式)来自经典电磁理论，教材^[10–17]中的一系列公式几乎都采用了高斯单位制(Gaussian units)，而最终由这些公式给出的通过实验测定计算偶极矩的公式的量纲却是国际单位制(SI)。这种不一致给当下几乎只学习了国际单位制的本科生甚至实验教师带来了概念上和数据处理上的困惑。尽管在电磁学领域，由于历史传承带来的习惯和使得部分公式形式上更简洁等多种原因，高斯单位制仍然有着重要的意义，但是目前的主流是采用国际单位制。本文通过将教材中的高斯单位制的基本公式转换为SI单位制下的表示式，从而自然地导出偶极矩在两种单位制下、分别采用三种量纲的计算公式。

高斯单位制是电磁学领域中多种cgs (centimeter-gram-second)单位制的一种，因此也被称为Gaussian-cgs单位制。有很多文献论述了它和国际单位制的关系^[18–20]，本文不再详细复述，只列出和本实验最相关的要点。首先，不同于国际单位制引入了安培(A)作为新的基本单位(Base units)，高斯单位制没有引入新的基本单位，因此，诸如电流、电压、电场强度等物理量的单位可以通过厘米(centimeter)、克(gram)和秒(second)三个基本单位导出。例如，电量的国际单位是库伦(C)，或者A∙s，高斯单位为esu (静电单位，electrostatic unit)或者statcoulomb (静电库伦)，用基本单位表达为(cm³∙g∙s⁻²)^1/2。更多其他物理量的单位参见表 1。

力学中的物理量，例如温度、时间、质量、能量等在两种单位制下量纲一致，均无需转换。而电磁学的物理量，例如电场强度E和磁感应强度B在高斯单位制下有着相同的量纲，但在国际单位制下差一个速度的量纲。由于同一物理量在两种单位制下的量纲的不同，电磁学的某些公式也可能有差别，电磁学的物理量的转换可通过一定的规则完成。本实验中用到的是如下三个转换规则：

(I)$ {q_{\rm{G}}} \to \frac{{{q_{{\rm{SI}}}}}}{{\sqrt {{\rm{4}}\pi {\varepsilon _{\rm{0}}}} }} $

(II)$ {\mu }_{\text{G}}\to \frac{{\mu }_{\text{SI}}}{\sqrt{\text{4}\pi {\varepsilon }_{\text{0}}}} $

(III)$ {\varepsilon }_{\text{G}}\to \frac{{\varepsilon }_{\text{SI}}}{{\varepsilon }_{\text{0}}} $

q、μ、ε、ε₀分别代表电量、偶极矩、介电常数、真空电容率(vacuum electric permittivity)，G和SI分别表示高斯单位制和国际单位制下的物理量或者公式。

偶极矩μ是表示分子中电荷分布情况的物理量，其数值大小可以度量分子的极性。偶极矩是矢量，规定其方向由正到负，定义为分子正负电荷中心所带的电荷量q与正负电荷中心之间的距离d的乘积。

(1.1)$ \vec \mu = q \cdot \vec d \ \ \ ({\rm{G}}) $

将公式中每个符号按照上述规则替换，消除公因子后将得到该式的SI单位下的表达式。可以容易的验证，SI下的公式形式和高斯单位制下相同。

(1.2)$ \vec \mu = q \cdot \vec d \ \ \ ({\rm{SI}}) $

下面直接给出各公式的两种形式，经常出现在实验教材中的高斯单位制下的公式在先，转换后的SI单位制下的公式在后。读者可以容易的验证该转换。

Debye的转向极化度(P_转向)和偶极矩的关系：

(2.1)$ {P}_{转向}=\frac{\text{4}}{\text{9}}\pi {N}_{\text{A}}\frac{{\mu }^{\text{2}}}{kT}\ \ \ \left(\text{G}\right) $

(2.2)$ {P}_{转向}=\frac{{N}_{\text{A}}{\mu }^{\text{2}}}{\text{9}{\varepsilon }_{\text{0}}kT}\ \ \ \left(\text{SI}\right) $

其中k为Boltzmann常数，T为热力学温度，N_A为Avogadro常数(或用L表示)。

Clausius-Mosotti-Debye公式的摩尔极化度(P)与介电常数(ε)的关系：

(3.1)$ P=\frac{\varepsilon -\text{1}}{\varepsilon -\text{2}}\cdot \frac{M}{\rho }\ \ \ \left(\text{G}\right) $

(3.2)$ P=\frac{\varepsilon /{\varepsilon }_{\text{0}}-\text{1}}{\varepsilon /{\varepsilon }_{\text{0}}+\text{ 2}}\cdot \frac{M}{\rho }\ \ \ \left(\text{SI}\right)$

注意：不仅SI和G单位制下极化度的公式形式不同，而且单位也不同，前者单位m³∙mol⁻¹，后者单位cm³∙mol⁻¹。

(4.1)$ {\varepsilon }_{\text{s}}={\varepsilon }_{\text{1}}\left(\text{1}+\alpha {x}_{\text{2}}\right)\ \ \ \left(\text{G}\right) $

(4.2)$ \frac{{\varepsilon }_{\text{s}}}{{\varepsilon }_{\text{0}}}=\frac{{\varepsilon }_{\text{1}}}{{\varepsilon }_{\text{0}}}\left(\text{1}+\alpha {x}_{\text{2}}\right)\ \ \ \left(\text{SI}\right) $

(5) ${\rho }_{\text{s}}={\rho }_{\text{1}}\left(\text{1}+\beta {x}_{\text{2}}\right)\ \ \ \left(\text{G, SI}\right)$

(6.1)$ {P}_{\text{2}}^{\infty }=\frac{\text{3}\alpha {\varepsilon }_{\text{1}}}{{\left({\varepsilon }_{\text{1}}+\text{2}\right)}^{\text{2}}}\times \frac{{M}_{\text{1}}}{{\rho }_{\text{1}}}+\text{ }\frac{{\varepsilon }_{\text{1}}-\text{1}}{{\varepsilon }_{\text{1}}+\text{2}}\times \frac{{M}_{\text{2}}-\beta {M}_{\text{1}}}{{\rho }_{\text{1}}}\ \ \ \left(\text{G}\right) $

(6.2)$ {P}_{\text{2}}^{\infty }=\frac{\text{3}\alpha {\varepsilon }_{\text{1}}}{{\left({\varepsilon }_{\text{1}}/{\varepsilon }_{\text{0}}+\text{2}\right)}^{\text{2}}}\times \frac{{M}_{\text{1}}}{{\rho }_{\text{1}}}+\text{ }\frac{{\varepsilon }_{\text{1}}/{\varepsilon }_{\text{0}}-\text{1}}{{\varepsilon }_{\text{1}}/{\varepsilon }_{\text{0}}+\text{2}}\times \frac{{M}_{\text{2}}-\beta {M}_{\text{1}}}{{\rho }_{\text{1}}}\ \ \ \left(\text{SI}\right) $

(7)$ {n}_{\text{s}}={n}_{\text{1}}\left(\text{1}+\gamma {x}_{\text{2}}\right)\ \ \ \left(\text{G, SI}\right) $

(8)$ {R}_{\text{2}}^{\infty }=\frac{{n}_{\text{1}}^{\text{2}}-\text{1}}{{n}_{\text{1}}^{\text{2}}+\text{2}}\times \frac{{M}_{\text{2}}-\beta {M}_{\text{1}}}{{\rho }_{\text{1}}}+\frac{\text{6}{n}_{\text{1}}^{\text{2}}{M}_{\text{1}}\gamma }{{\left({n}_{\text{1}}^{\text{2}}+\text{2}\right)}^{\text{2}}{\rho }_{\text{1}}}\ \ \ \left(\text{G, SI}\right) $

(9)$ {P}_{转向}=\text{ }{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\ \ \ \left(\text{G, SI}\right) $

$ {P}_{\text{2}}^{\text{∞}} $, $ {R}_{\text{2}}^{\text{∞}} $分别是无限稀释溶液溶质的摩尔极化度和摩尔折射度，可分别通过实验测定溶液和溶剂的ε、n和ρ (下标1、2和s分别代表溶剂，溶质和溶液)数据，再由式(4.1)、式(5)、式(6.1)、式(7)和式(8)求得。

式(9)结合式(2.1)得，

(10.1)$ \mu =\sqrt{\frac{\text{9}kT\text{(}{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\text{)}}{\text{4}\pi {N}_{\text{A}}}}=\frac{\text{3}}{\text{2}}\sqrt{\frac{k}{\pi {N}_{\text{A}}}}\cdot \sqrt{T\text{(}{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\text{)}}=\text{1}\text{.28 }\times {\text{10}}^{-\text{20}}\sqrt{T\text{(}{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\text{)}}\text{ }\left(\text{esu}\cdot \text{cm}\right)\ \ \ \left(\text{G}\right) $

式(9)结合式(2.2)得，

(10.2)$ \mu =\sqrt{\frac{\text{9}{\varepsilon }_{\text{0}}kT\text{(}{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\text{)}}{{\text{10}}^{\text{6}}\times {N}_{\text{A}}}}=\text{0}\text{.0427 }\times {\text{10}}^{-\text{30}}\sqrt{T\text{(}{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\text{)}}\text{ }\left(\text{C}\cdot \text{m}\right)\ \ \ \left(\text{SI}\right) $

注意在高斯单位下，物理常数k = 1.380649 × 10⁻¹⁶ Erg∙K⁻¹，进一步，引入常用的偶极矩的单位德拜(Debye，D)，1 D ≡ 1.0 × 10⁻¹⁸ esu∙cm ≈ 3.33564 × 10⁻³⁰ C∙m，则得，

(10.3)$ \mu = 1.28 \times {10^{ - 2}}\sqrt {T\left( {P_2^\infty - R_2^\infty } \right)}\ \ \ ({\rm{D}}) $

显然，三个不同单位的偶极矩的计算公式的系数不同；此处我们将单位标记在后面的括号内，与公式中间间隔一个空格。

注意式(10.2)中的10⁶因子是为了$ P_{\text{2}}^{\text{∞}} $、$ R_{\text{2}}^{\text{∞}} $的单位转换。这三个计算公式中$ P_{\text{2}}^{\text{∞}} $、$ R_{\text{2}}^{\text{∞}} $的单位均是高斯单位即cm³∙mol⁻¹。具体到数据处理时，$ P_{\text{2}}^{\text{∞}} $、$ R_{\text{2}}^{\text{∞}} $的计算完全可以采用高斯单位制，即通过式(6.1)和式(8)，摩尔质量、密度的单位分别为g∙mol⁻¹和g∙cm⁻³，这样得到的$ P_{\text{2}}^{\text{∞}} $、$ R_{\text{2}}^{\text{∞}} $单位即为cm³∙mol⁻¹，然后通过10⁶因子将$ P_{\text{2}}^{\text{∞}} $、$ R_{\text{2}}^{\text{∞}} $的单位调节为SI单位制的m³∙mol⁻¹。

本实验中涉及的物理常数参见表 2^[21]。

教材^[10–17]中均有与式(10.2)相同系数的偶极矩的计算公式即$ \mu = 0.0427 \times {10^{ - 30}}\sqrt {T\left( {P_2^\infty - R_2^\infty } \right)} $(C∙m)。但因教材中均没有给出SI单位制下的式(3.2)，也没有出现真空电容率ε₀，以及不清楚公式中$ P_{\text{2}}^{\text{∞}}\mathrm{、}R_{\text{2}}^{\text{∞}} $的单位，读者无法推得系数0.0426 × 10⁻³⁰。

笔者仅看到教材^[22]中有公式$ \mu =\frac{\text{3}}{\text{2}}\sqrt{\frac{k}{\pi {N}_{\text{A}}}}\cdot \sqrt{T\text{(}{P}_{\text{2}}^{\infty }-{R}_{\text{2}}^{\infty }\text{)}} $，该公式后未标单位，也没有像式(10.1)那样给出进一步的系数1.28 × 10⁻²⁰。虽教材中均给出与式(2.1)相同的公式$ {P}_{转向}=\frac{\text{4}}{\text{9}}\pi {N}_{\text{A}}\frac{{\mu }^{\text{2}}}{kT} $，由此式很容易得出上式。但由于学生不清楚是高斯单位，以及不清楚高斯单位制下物理常数k = 1.380649 × 10⁻¹⁶ Erg∙K⁻¹，也无法推得系数1.28 × 10⁻²⁰。

教材^[13–16]中给出与式(10.3)相同，系数为1.28 × 10⁻²、单位为Debye (D)的偶极矩的计算公式，即$ \mu = 1.28 \times {10^{ - 2}}\sqrt {T\left( {P_2^\infty - R_2^\infty } \right)} $ (D)，但由于一方面不清楚高斯单位下物理常数k = 1.380649 × 10⁻¹⁶ Erg∙K⁻¹，另一方面不清楚偶极矩的单位德拜(Debye, D)与高斯单位的关系1 D ≡ 1.0 × 10⁻¹⁸ esu∙cm，同样无法推得系数1.28 × 10⁻²。

总之，教材中普遍存在电磁学基本原理给出的是高斯单位制下的公式，而最终的偶极矩计算公式又是SI单位制下的式子。没有明确提出高斯单位制，未介绍高斯单位制和SI单位制的转化，内容上前后不能很好地自洽。普遍存在对偶极矩计算公式解释不充分的情况。这显然给读者带来困惑，因为在目前的科学教育背景下，不加解释而默认的是国际单位制。我们将在2021年底出版的自编物理化学实验教材第2版中对该实验原理(公式)和偶极矩计算公式加入解释。

值得注意的是，类似的单位制不同导致公式不同的情况在大学物理化学实验“电泳法测定ζ电势”中也存在。张小亮等对此有专门的阐述^[23]。

教材中未发现高斯单位制下偶极矩的计算公式。

偶极矩的SI单位为C∙m，计算公式的规范书写应如式(10.2)，单位标记在括号内，与公式中间间隔一个空格。同样，偶极矩采用Debye为单位时，计算公式的规范书写应如式(10.3)，单位标记在括号内，与公式中间间隔一个空格。教材存在单位的不规范甚至错误的表示，如SI单位C∙m未写在括号内、与公式中间未间隔一个空格或间隔了多个空格、代表单位的英文字母斜体、SI单位写成c∙m。这显然容易引起读者的误解。

本文通过将目前在大学物理化学实验教材中的“溶液法测量偶极矩”实验中通行的高斯单位制下的公式转换为国际单位制下的表达，解释了数据处理中的核心公式系数的由来。本文是对理解该实验的一个有益甚至必须的补充。同时为理解两种单位制的差别提供了一个具体的案例。