大学化学, 2022, 37(11): 2203015-0 doi: 10.3866/PKU.DXHX202203015

自学之友

化学平衡的近似计算

游丹1, 蔡殿红2, 程清蓉,1

1 武汉工程大学化学与环境工程学院, 武汉 430205

2 吉林轻工业学校数学学院, 吉林 吉林 132000

Approximate Calculation of Chemical Equilibrium

You Dan1, Cai Dianhong2, Cheng Qingrong,1

1 School of Chemistry and Environmental Engineering, Wuhan Institute of Technology, Wuhan 430205, China

2 School of Mathematics, Jilin School of Light Industry, Jilin 132000, Jilin Province, China

通讯作者: 程清蓉, Email: chengqr383121@sina.com

收稿日期: 2022-03-9   接受日期: 2022-04-2  

Received: 2022-03-9   Accepted: 2022-04-2  

Abstract

The calculation of chemical equilibrium in aqueous solution involves solving unary quadratic or multiple equations, which is troublesome. The initial concentration is used to substitute the equilibrium concentration for approximate calculation, however, sometimes, the error is large. In this article, the application conditions of the method of progressive approximation in the calculation of chemical equilibrium of aqueous solution are described, the number of approximations is predicted, and the steps of chemical equilibrium calculation in aqueous solution are put forward. This enables the calculation of chemical equilibrium in aqueous solution, especially in the case of unitary higher-order equations, to achieve the desired accuracy through some simple calculations without using computers, and reduce blindness by predicting approximation times.

Keywords： Chemical equilibrium calculation ; Method of successive approximation ; Approximate calculation ; Error ; Predicted approximation times

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本文引用格式

游丹, 蔡殿红, 程清蓉. 化学平衡的近似计算. 大学化学[J], 2022, 37(11): 2203015-0 doi:10.3866/PKU.DXHX202203015

You Dan. Approximate Calculation of Chemical Equilibrium. University Chemistry[J], 2022, 37(11): 2203015-0 doi:10.3866/PKU.DXHX202203015

水溶液中化学平衡的计算在无机化学和分析化学教材中占有大量的篇幅。水溶液中化学平衡的准确计算涉及到解一元二次及一元二次以上的高次方程。如一元弱酸、弱碱溶液中的H+或OH−浓度准确计算需解一元二次方程(不考虑水的离解)，而水溶液中配合物中心离子浓度的准确计算就涉及到一元高次方程，这在数学上是一件非常麻烦的事。目前无机化学和分析化学教材都采用起始浓度替代平衡浓度的近似计算[1–5]。这种计算是基于平衡常数较小，平衡时体系内的物质离解度很小，起始浓度与平衡浓度相差很小，可忽略不计。但起始浓度替代平衡浓度计算必然引入误差，误差大的计算结果肯定是不合理的。无机化学和分析化学教材中只提出了一元弱酸、弱碱溶液中的H+或OH−浓度的近似计算的条件是起始浓度与平衡常数之比，如$ c(\text{HA})\text{/}{c}^{Ө}\text{/}{K}_{i}^{Ө} $(c(HA)为一元弱酸的起始浓度，$ {c}^{Ө} $= 1.0 mol∙L−1)大于某值以保证计算结果的误差在2%–5%。而对其他化学平衡计算并没有提出近似计算的条件。

水溶液中化学平衡时物质浓度的准确计算需解一元二次甚至一元高次方程，这是一件麻烦甚至不可能的事，除非利用计算机。

为此人们在计算一元弱酸溶液的H+浓度时引入逐步逼近法[6]。如弱酸HA溶液中达到平衡时，忽略水的离解，平衡常数表达式为$ {K}_{\text{a}}^{Ө}\text{(HA) = }\frac{{(c({\text{H}}^{+})/{c}^{Ө})}^{2}}{c(\text{HA})/{c}^{Ө}-c({\text{H}}^{+})/{c}^{Ө}} $，用起始浓度替代平衡浓度，则表达式为$ {K}_{\text{a}}^{Ө}\text{(HA) = }\frac{{(c({\text{H}}^{+})/{c}^{Ө})}^{2}}{c(\text{HA})/{c}^{Ө}} $，由此计算H+近似浓度c(H+)0 (0表示用起始浓度替代平衡浓度)，然后由$ {K}_{\text{a}}^{Ө}\text{(HA) = }\frac{{(c{({\text{H}}^{+})}_{m}/{c}^{Ө})}^{2}}{c(\text{HA})/{c}^{Ө}-c{({\text{H}}^{+})}_{m-1}/{c}^{Ө}} $求出c(H+)m (表示m次逼近的近似浓度，m依次取1、2、3…)，直到c(H+)m符合要求，这就是逐步逼近法。

逐步逼近法又称迭代法，是一种重要的近似计算方法。其方法简单，易于掌握，不需解高次方程。一些作者[7–10]结合一元弱酸的离解，讨论逐步逼近法的数学依据、计算结果的准确度以及该方法的适用条件。通过对水溶液中H+浓度的精确计算法、近似计算法与逐步逼近法进行比较，得出$ 20 < c\text{/}{c}^{Ө}\text{/}{K}_{\text{a}}^{Ө} < 500 $适用逐步逼近法，而当$ c\text{/}{c}^{Ө}\text{/}{K}_{\text{a}}^{Ө} < 20 $，特别是$ c\text{/}{c}^{Ө}\text{/}{K}_{\text{a}}^{Ө} < 5 $时，用逐步逼近法显得麻烦，不如用精确计算法，并提出$ c\text{/}{c}^{Ө}\text{/}{K}_{\text{a}}^{Ө}\le 1 $不能使用逐步逼近法。这些讨论仅限于一元弱酸离解平衡的计算，而在一元弱酸和其盐的混合溶液中H+浓度计算及其他化学平衡计算中逐步逼近法的应用未见报导。

计算结果的准确度是采用计算方法的依据。前述关于逐步逼近法适宜条件就是作者通过每一近似计算结果的相对误差得出来的。马春花和全晓塞[11]根据水溶液中H+浓度计算的近似公式使用条件与相对误差之间的定量关系，求出了各种允许误差下近似公式的使用条件。本文将依据用起始浓度替代平衡浓度计算结果与逐步逼近法1次逼近计算结果的相对误差讨论逐步逼近法适宜水溶液中化学平衡计算的条件。

1 水溶液中简单体系化学平衡的计算

所谓简单体系就是这一体系只有一种平衡，如酸碱平衡或配位平衡等。设体系存在下列平衡(忽略电荷)：

平衡时有$ {K}_{i}^{Ө}\text{ = }\frac{c(\text{A})/{c}^{Ө}(c(\text{B})/{c}^{Ө}+nc(\text{A})/{c}^{Ө}{)}^{n}}{c({\text{AB}}_{n})/{c}^{Ө}-c(\text{A})/{c}^{Ө}} $，式中n为正整数。可见n = 1，c(A)准确计算需解一元二次方程，如一元弱酸溶液中c(H+)及AB型难溶电解质在同离子溶液中溶解度的准确计算；n > 1，c(A)准确计算需解一元三次及一元三次以上的方程，如配位化合物溶液中中心离子c(Mn+)及除AB型外其他类型的难溶电解质在同离子溶液中溶解度准确计算。

平衡时用起始浓度替代平衡浓度计算c(A)0的计算式：

$ c{(\text{A})}_{0}/{c}^{Ө}\text{ = }{K}_{i}^{Ө}\frac{c({\text{AB}}_{n})/{c}^{Ө}}{{(c(\text{B})/{c}^{Ө})}^{n}} $

逐步逼近法计算c(A)m的计算式：

$ c{(\text{A})}_{m}/{c}^{Ө}\text{ = }{K}_{i}^{Ө}\frac{c({\text{AB}}_{n})/{c}^{Ө}-c{(\text{A})}_{m-1}/{c}^{Ө}}{{(c(\text{B})/{c}^{Ө}\text{+}n(c{(\text{A})}_{m-1}/{c}^{Ө}))}^{n}} $

则c(A)m对于c(A)m−1的相对误差(Erm，文中除注明外，Erm为绝对值)：

$ E{{\text{r}}_m}{\text{ = }}\frac{{c{{({\text{A}})}_{m - 1}} - c{{({\text{A}})}_m}}}{{c{{({\text{A}})}_m}}} \times {\text{100% }} $

Er1是c(A)1对于c(A)0的相对误差。

c(A)m对于c(A)的相对误差(Er，文中除注明外，Er为绝对值)：

$ E{\text{r = }}\frac{{c{{({\text{A}})}_m} - c({\text{A}})}}{{c({\text{A}})}} \times {\text{100% }} $

1.1 酸碱平衡中Er1与逼近次数的关系

图 1是一元弱酸c(HA) = 5000$ {K}_{a}^{Ө}\text{(HA)} $ (mol∙L−1)，c(A−) = 50$ {K}_{a}^{Ө}\text{(HA)} $(mol∙L−1)，c(H+)0 = 100$ {K}_{a}^{Ө}\text{(HA)} $ (mol∙L−1)，c(H+) = 49.67$ {K}_{a}^{Ө}\text{(HA)} $ (mol∙L−1)，逼近计算结果c(H+)m、逼近次数(m)与准确值c(H+)的关系。如图 1所示，c(H+)位于c(H+)m与c(H+)m−1之间，因此Erm比Er大，如Er2为45.6% (绝对值)，2次逼近，Er为21.0%，故Erm满足准确度的要求，c(H+)m作为溶液中H+浓度一定满足准确度的要求。

图1

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图1   逼近计算结果c(H+)m、逼近次数(m)与准确值c(H+)的关系

c(H+)m和c(H+)单位：mol∙L−1；$ c({\text{H}}^{\text{+}})/{c}^{Ө}\text{ = }-\frac{c({\text{A}}^{-})/{c}^{Ө}+{K}_{}^{Ө}(\text{HA})}{2}\text{ + }\sqrt{\frac{(c({\text{A}}^{-})/{c}^{Ө}+{K}_{}^{Ө}(\text{HA}){)}^{2}}{4}+{K}_{}^{Ө}(\text{HA})\cdot c(\text{HA})/{c}^{Ө}} $


由图 1可见，每逼近一次，计算结果c(H+)m就更接近准确值c(H+)；逼近次数越多，即m的值越大，结果越准确。如图 1中c(H+)0对c(H+)的相对误差为101.3%，1–3次逼近，Er分别为–34.2%、21.0%、–9.7%，而6次逼近，Er仅为1.3%。但逼近次数太多，计算也是一件麻烦的事，所以须找出在化学平衡计算中逼近法适用的条件。当然逼近次数也与对计算结果准确度的要求有关，如图 1中，准确度要求Er不大于2%，须进行6次逼近，而约5%，则只需4次逼近。有关水溶液中H+浓度近似计算公式的使用条件探讨的文献[12–14]较多，并从误差的角度讨论了近似公式的使用条件与逐步逼近次数的关系。本文只讨论Er1的大小对逼近次数影响，从而找出化学平衡计算采用逐步逼近法适用的条件。表 1是甲酸和甲酸钠混合溶液中c(H+)1对于c(H+)0的相对误差(Er1)与逼近次数的关系。

表1   甲酸和甲酸钠混合溶液中Er1与逼近次数的关系

c(HCOO−)/
(mol·L−1)		c(HCOOH)/ (mol·L−1)c(H+)0/(mol·L−1)c(H+)1/(mol·L−1)Er1/%c(H+) ①/(mol·L−1)c(H+)m/(mol·L−1)Erm/%Er/%
0.000500.00103.6 × 10−41.340 × 10−4168.72.037 × 10−42.073 × 10−4 (6)−4.9 (6)1.8 (6)
0.00100.00101.8 × 10−41.251 × 10−443.91.367 × 10−41.358 × 10−4 (3)−3.1 (3)−0.7 (3)
0.00500.00103.6 × 10−53.446 × 10−54.53.452 × 10−5−0.2 (1)
0.00100.101.8 × 10−27.768 × 10−422173.693 × 10−33.630 × 10−3 (23)3.9 (23)−1.7 (23)
0.00500.103.6 × 10−32.018 × 10−378.42.381 × 10−32.336 × 10−3 (3)7.6 (3)−1.9 (3)
0.0100.101.8 × 10−31.498 × 10−320.21.536 × 10−31.542 × 10−3 (2)−2.9 (2)0.4 (2)
0.00500.501.8 × 10−23.772 × 10−3377.27.244 × 10−37.372 × 10−3 (8)−4.5 (8)1.8 (8)
0.02500.503.6 × 10−33.124 × 10−315.23.174 × 10−3−1.6 (1)
0.0500.501.8 × 10−31.731 × 10−34.01.734 × 10−3−0.2 (1)

$ {K}_{a}^{Ө}(\text{HCOOH})=1.8\times {10}^{-4} $；表中括号内值为m值，即逼近次数
①$ c({\text{H}}^{\text{+}})/{c}^{Ө}\text{ = }-\frac{c({\text{HCOO}}^{-})/{c}^{Ө}+{K}_{}^{Ө}(\text{HCOOH})}{2}\text{ + }\sqrt{\frac{(c({\text{HCOO}}^{-})/{c}^{Ө}+{K}_{}^{Ө}(\text{HCOOH}){)}^{2}}{4}+{K}_{}^{Ө}(\text{HCOOH})\cdot c(\text{HCOOH})/{c}^{Ө}} $

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表 1显示，Er1越大，逼近次数越多。Er1 > 100%，须逼近5次以上；如Er1为168.7%，须逼近6次，Er1为2217%，须逼近23次，才能使Er小于2%。Er1 < 15%，不需再逼近，Er就小于2%；15% ≤ Er1 ≤ 50%，再逼近1次，Er小于2%；50% < Er1 ≤ 100%，再逼近2次，Er小于2%。由表 1可知Erm远大于Er，比较Erm和Er，当Erm小于5%，Er就会小于2%，因此对于n = 1的平衡计算，要求结果的相对误差不大于2%，当m > 1时，Erm不大于5%就不需再逼近计算。

1.2 配位平衡中Er1与逼近次数的关系

配位平衡的准确计算须解一元三次方程及以上的高次方程。本文以配位平衡时中心离子浓度计算为例讨论c(Mn+)1对c(Mn+)0的相对误差(Er1)与逼近次数的关系。氨水中几种配离子离解平衡，Er1与逼近次数的关系见表 2。

表2   氨水中Ag(NH3)2+、Cu(NH3)42+和Co(NH3)62+离解平衡Er1与逼近次数的关系

配合物c(MLn)/(mol∙L−1)c(L)/(mol∙L−1)c(Mn+)0/(mol∙L−1)c(Mn+)1/(mol∙L−1)Er1/%c(Mn+)m/(mol∙L−1)Erm/%
[Ag(NH3)2]+0.00100.00108.928 × 10−55.854 × 10−552.56.547 × 10−5 (4)−1.2
0.0108.928 × 10−78.920 × 10−70.1
0.0100.00108.928 × 10−41.048 × 10−4752.03.180 × 10−4 (23)1.9
0.0108.928 × 10−68.884 × 10−60.5
0.100.00108.928 × 10−32.287 × 10−53.9 × 104
0.0108.928 × 10−58.610 × 10−53.78.621 × 10−5 (2)−0.13
[Cu(NH3)4]2+0.00100.00104.785 × 10−52.261 × 10−5111.62.980 × 10−5 (6)−1.5
0.00202.991 × 10−62.911 × 10−62.752.913 × 10−6 (2)−0.07
0.0100.00305.907 × 10−65.722 × 10−63.235.727 × 10−6 (2)−0.09
0.00507.656 × 10−77.637 × 10−70.25
0.0500.00256.125 × 10−54.209 × 10−545.54.613 × 10−5 (4)−0.85
0.00503.828 × 10−63.781 × 10−61.24
[Co(NH3)6]2+0.00100.201.211 × 10−41.042 × 10−416.21.064 × 10−4 (2)−2.1
0.301.063 × 10−51.051 × 10−51.1
0.0100.201.211 × 10−38.594 × 10−440.99.325 × 10−4 (4)−0.70
0.301.063 × 10−41.039 × 10−42.311.039 × 10−4 (2)≈0
0.100.201.211 × 10−21.658 × 10−3630.45.024 × 10−3 (26)−1.7
0.504.961 × 10−54.941 × 10−50.4

$ {K}_{不稳}^{Ө}{\text{(Ag(NH}}_{\text{3}}{\text{)}}_{\text{2}}^{\text{+}}\text{) = }8.928\text{ }\times \text{ }{10}^{-8} $；$ {K}_{不稳}^{Ө}{\text{(Cu(NH}}_{\text{3}}{\text{)}}_{\text{4}}^{\text{2+}}\text{) = }4.785\text{ }\times \text{ }{10}^{-14} $；$ {K}_{不稳}^{Ө}{\text{(Co(NH}}_{\text{3}}{\text{)}}_{\text{6}}^{\text{2+}}\text{) = }7.752\text{ }\times \text{ }{10}^{-6} $；表中括号内值为m值，即逼近次数

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由表 2可见，Er1对逼近次数的影响是：Er1越大，逼近次数越多。如表 2所示，当Er1 < 4%时，2次逼近计算结果几乎与1次逼近计算结果相等，因此没有必要进行2次逼近，且Er1远大于1次逼近的Er (见图 1)，故对于n > 1，当Er1 < 4%时，1次逼近的Er不大于2%；4% ≤ Er1 ≤ 16%，再1次逼近的Er不大于2%；16% < Er1 ≤ 50%，逼近2–3次Er不超过2%；50% < Er1 ≤ 100%，逼近4–5次Er不超过2%，笔者认为逼近4–5次比解高次方程还是要简单，至少不使用计算机能得到准确的结果。但Er1 > 100%至少逼近6次就显得麻烦了，如Er1为630.4%须逼近计算26次才使Er26为−1.7%。但若允许误差大些，如不大于5%，一些Er1 > 100%的计算，采用逐步逼近法也不太麻烦。

2 水溶液中复杂体系化学平衡的计算

所谓复杂体系就是水溶液存在二种及二种以上的平衡，如酸碱平衡和沉淀溶解平衡或酸碱平衡和配位平衡等，甚至酸碱平衡、沉淀溶解平衡和配位平衡同时存在。下面将讨论几种平衡共存的体系逐步逼近法的应用。

2.1 酸碱平衡和沉淀平衡体系Er1与逼近次数的关系

以Mg(OH)2在氨和氯化氨混合溶液中的Mg2+浓度计算为例来讨论c(Mg2+)1对c(Mg2+)0的相对误差(Er1)与逼近次数的关系。下面是Mg(OH)2在氨和氯化氨混合溶液中达到平衡时各物质的浓度。

平衡时$ {K}^{Ө}\text{ = }\frac{c({\text{Mg}}^{\text{2+}})/{c}^{Ө}(c({\text{NH}}_{3})/{c}^{Ө}\text{+}2c({\text{Mg}}^{2+})/{c}^{Ө}{)}^{2}}{(c({\text{NH}}_{\text{4}}^{\text{+}})/{c}^{Ө}-2c({\text{Mg}}^{2+})/{c}^{Ө}{)}^{2}} $，因此准确计算c(Mg2+)须解一元三次方程。

表 3是Er1与逼近次数关系。

表3   Mg(OH)2在氨和氯化氨混合溶液中达到平衡时Er1与逼近次数关系

c(NH3)/(mol·L−1)c(NH4+)/(mol·L−1)c(Mg2+)0/(mol·L−1)c(Mg2+)1/(mol·L−1)Er1/%c(Mg2+)m/(mol·L−1)Erm/%
0.0500.100.06912
0.100.100.017284.086 × 10−3322.98.672 × 10−3 (14)−1.6 (14)
0.700.103.527 × 10−43.470 × 10−41.6
0.200.300.038880.01106251.50.02005 (11)1.5 (11)
0.400.309.720 × 10−37.733 × 10−325.78.034 × 10−3 (3)0.88 (3)
0.800.302.430 × 10−32.324 × 10−34.62.328 × 10−3 (2)−0.17 (2)
0.600.500.012000.0100619.30.01030 (2)0.49 (2)
0.800.506.750 × 10−36.180 × 10−39.26.227 × 10−3 (2)0.75 (2)
1.00.504.320 × 10−34.102 × 10−35.34.112 × 10−3 (2)0.27 (2)

$ {K}^{Ө}\text{=}{K}_{\text{sp}}^{Ө}{\text{(Mg(OH)}}_{\text{2}}\text{)}/{({K}_{\text{b}}^{Ө}{\text{(NH}}_{\text{3}}))}^{2}=5.6\times {10}^{-12}/{(1.8\times {10}^{-5})}^{2}=0.01728 $；表中括号内值为m值，即逼近次数

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表 3中当c(NH4+)为0.10 mol∙L−1，c(NH3)为0.050 mol∙L−1时，c(Mg2+)0为0.06912 mol∙L−1，而c(NH4+) − 2c(Mg2+)0为负值，显然此条件下，c(Mg2+)0计算不合理，即不能用起始浓度替代平衡浓度近似计算。由表 3可见，Er1 ≤ 4%，1次逼近的Er不大于2%。4% < Er1 ≤ 20%，再进行1次逼近，Er就不大于2%，这与简单体系n > 1基本一致。

2.2 酸碱平衡和配位平衡体系Er1与逼近次数的关系

以一定浓度的Cu2+和一定浓度的HCN混合溶液中Cu(CN) 42−浓度(x)计算为例来讨论x1对于x0相对误差(Er1)与逼近次数的关系。下面是Cu2+在HCN溶液中达到平衡时各物质的浓度。

平衡时有$ {K}^{Ө}\text{ = }\frac{256{(x/{c}^{Ө})}^{5}}{(c(\text{HCN})/{c}^{Ө}-4x/{c}^{Ө}{)}^{4}(c({\text{Cu}}^{2+})/{c}^{Ө}-x/{c}^{Ө})} $，因此准确计算须解一元五次方程，不利用计算机不能计算。表 4是Cu2+和HCN混合溶液中Er1与逼近次数关系。

表4   Cu2+和HCN混合溶液中Er1与逼近次数关系

c(Cu2+)/(mol∙L−1)c(HCN)/(mol∙L−1)x0/(mol∙L−1)x1/(mol∙L−1)Er1/%xm/(mol∙L−1)Erm/%
0.00200.201.299 × 10−31.031 × 10−326.01.086×10−3 (3)1.7 (3)
0.00800.201.714 × 10−31.588 × 10−37.91.598×10−3 (2)−0.63 (2)
0.0100.201.792 × 10−31.673 × 10−37.11.681×10−3 (2)−0.48 (2)
0.00500.402.716 × 10−32.271 × 10−319.62.345×10−3 (3)0.72 (3)
0.0100.403.120 × 10−32.822 × 10−310.62.853×10−3 (2)−1.1 (2)
0.0800.404.729 × 10−34.494 × 10−35.24.505×10−3 (2)−0.24 (2)
0.0250.806.524 × 10−35.980 × 10−39.16.029×10−3 (2)−0.81 (2)
0.0500.807.494 × 10−37.036 × 10−36.57.065×10−3 (2)−0.40 (2)
0.400.800.011360.010785.40.01081 (2)−0.28 (2)

$ {K}^{Ө}\text{ = }{K}_{稳}^{Ө}(\text{Cu(CN}{)}_{4}^{2-}){({K}_{\text{a}}^{Ө}(\text{HCN}))}^{4}\text{ = }2.00\times {10}^{30}\times {(6.2\times {10}^{-10})}^{4}=2.955\times {10}^{-7} $；表中括号内值为m值，即逼近次数

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由表 4可见，Er1 ≤ 4%，1次逼近的Er不大于2%。4% < Er1 ≤ 20%，再进行1次逼近，Er就不大于2%，与表 3结论基本一致。

3 结语

采用逐步逼近法计算水溶液中化学平衡物质浓度，并通过1次逼近的计算结果c(A)1与起始浓度替代平衡浓度近似计算结果c(A)0的相对误差Er1与逼近次数的分析，说明逐步逼近法是化学平衡计算的简单、准确的方法。在计算化学平衡物质浓度时，先计算c(A)0，再用逐步逼近法计算c(A)1，根据Er1预测逼近次数，即m值。如满足准确度的要求，就以c(A)1为计算结果；如Er1不满足对准确度的要求就须继续进行逼近计算，得出满足准确度要求的c(A)m。m值的大小是判断化学平衡计算采用逐步逼近法是否合适的依据。因m值太大，即逼近次数太多，计算也是一件非常麻烦的事。

综合前面的分析，简单平衡体系的化学平衡计算，准确计算只需解一元二次方程(n = 1)，如水溶液中的酸碱平衡计算，准确度要求误差不大于2%，Er1 < 15%，不需再逼近；15% ≤ Er1 ≤ 50%，再逼近1次；50% < Er1 ≤ 100%，再逼近2次。若Er1 > 100%，解一元二次方程会简单些。m > 1，Erm不大于5%就不需再逼近计算。而准确计算须解一元三次及一元三次以上的高次方程(n > 1)，如水溶液中配位平衡的计算，准确度要求误差不大于2%，Er1 < 4%，不需再逼近；4% ≤ Er1 ≤ 16%，再逼近一次；16% < Er1 ≤ 50%，逼近2–3次，50% < Er1 ≤ 100%，逼近4–5次。复杂体系的平衡计算与n > 1的简单体系平衡计算一致。

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