1 引言
结构化学课程的核心内容是结构与性质的关系，点群及其对称操作对理解分子、晶体的结构与性质的关系极为重要，因此分子点群与晶体学点群是结构化学教学重要内容之一，同时也是教学的一个难点。分子对称操作及其相应的对称元素可分为五种：恒等操作与恒等元素、旋转与旋转轴、反映与对称面、反演与对称中心、旋转反映与映轴(或旋转反演与反轴)，其中旋转反映与旋转反演都是复合操作。学生对于只含有一个对称元素的对称操作较易掌握，如恒等、旋转、反映、反演；而对复合操作往往感到困难，尤其是对复合对称元素中的独立性的理解和掌握。学生在学习中经常会提出疑问：为何只有S4轴与I4轴具有独立性，而其余映轴与反轴均是非独立的？为何在描述分子对称性时选用映轴，而描述晶体对称性时则选用反轴？即分子点群选取Sn群，而晶体学点群选取I4群。在结构化学和量子化学的不同教材中，虽有明确指出四重映轴S4及S4群是独立的，但对其原因的阐述所采用的方法不同，详略不同。主要有以下三种方法：(1) 以CH4分子为例，仅说明了S4轴的独立性，但未指出其他映轴等价的对称元素或其组合[1–4]，这也是目前多数教材采用的方法；(2) 采用几何图形法说明除S4轴外，其他映轴均可等价于一个对称元素或其组合[5–7]；(3) 通过分析Sn轴(n = 1–6)的对称操作，得出结论：只有当n = 4的倍数时，映轴S4并不能表示为其他对称元素或其组合，因而是独立的对称元素[8–10]。由于教科书没有严谨的证明或详尽的解释，使得学生在接受仅有S4及I4是独立存在的结论时仍然感到困惑。张越[11]虽然从图形和矩阵角度帮助学生理解独立对称元素的内涵，但由于矩阵知识的欠缺，学生对S4及I4独立性理解上的疑惑仍未彻底消除。因而，本文将从循环群的生成元出发，根据映轴是否可以用其他对称元素代替，或对称操作群是否可以表示为两个子群的直积的性质，得到只有S4及I4是独立存在的结论，并以此作为对称元素是否独立存在的判据。
为了便于区分对称操作、对称元素以及点群的符号表示，本文中以Sn表示对称元素和点群，
2 映轴S4及反轴I4独立性推导
数学上，若一个群G的每一个元都是该群的某一个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G = (a)，a称为G的一个生成元。显然，Sn群和In群均为循环群，分别以
旋转反映操作是先绕轴旋α = 2π/n (并未进入等价图形)，接着按垂直于轴的平面σh进行反映(图形才进入等价图形)，则该轴与镜面组合所得的对称元素称为映轴(Sn)。根据映轴是否可以用其他对称元素代替，或对称操作群是否可以表示为两个子群的直积的性质，推导当n ≤ 6时，只有映轴S4是独立存在的对称元素。
n = 1，
n = 2，
S2 = {
n = 3，
S3 ={
n = 4，
S4 = {
n = 5，
S5 = {
n = 6，
S6 = {
综上所述，S1 = σh，S2 = i，S3 = C3 ⊗ σh，S5 = C5 ⊗ σh，S6 = C3 ⊗ i。前两个映轴可以用其他对称元素代替，后三个映轴群可以分别表示为两个子群的直积，只有S4群无法写成两个子群的直积。因此，只有映轴S4是一个独立新元素。理论上讲，当n为4的倍数时，Sn是独立对称元素，也即Sn群是独立存在的分子点群。由于现在还未找到属于S8和S12对称性分子的实例，故本文正文中未推导S8和S12等元素的独立性，相关讨论列在补充材料S1中。
旋转反演操作是先绕轴旋α = 2π/n (并未进入等价图形)，接着按对称中心i进行反演(图形才进入等价图形)，则该轴与对称中心组合所得的对称元素称为反轴(In)，一般表示为In = iCn。按照上述映轴的推导方法，同样。
n = 1，
I1 = {
n = 2，
I2 = {
n = 3，
I3 = {
n = 4，
I4 = {
n = 5，
I5 = {
n = 6，
I6 = {
综上推导可知，S1 = σh，S2 = i，S3 = C3 ⊗ σh，S5 =C5 ⊗ σh，S6 =C3 ⊗ i；I1 = i，I2 = σh，I3 = C3 ⊗ i，I5 = C5 ⊗ i，I6 = C3 ⊗ σh，对比分析In群和Sn群可得，In群和Sn群互有联系，相互包含。如：S1与I2群包含相同的元素，都是E和σh，S2与I1群都是E和i。同理S3与I6群实际就是C3h群，S6与I3群实际就是C3i群。对比分析I4群与S4群的对称操作群元素，如图 1所示，它们存在一一对应的关系，因而，I4群与S4群等价。并在补充材料S2中给出采用矩阵表示验证I4群与S4群的等价关系。
图1
映轴与反轴对应关系是：当n为奇数时，In = S2n，当n为偶数但不是4的整数倍时，In = S2/n；当n为4的整数倍时，In = Sn。
3 选用映轴描述分子对称性及选用反轴描述晶体对称性的原因
在数学上，若有两个相同阶数的群G和G'，且群G的元素和群G'的元素，存在一一对应的关系，则称这两个群同构，它们应有相同的乘法表。显然，I4群与S4群属于同构群，S3群与I6群属于同构群，I3群与S6群属于同构群。因而，在讨论分子或晶体的对称性时，映轴与反轴两者取其一即可。在讨论晶体对称性时，晶系是按特征对称元素划分的。选取反轴In描述时，六方晶系的特征对称元素为6次对称轴(C6或I6)，三方晶系为3次对称轴(C3或I3)，轴次与晶系名称正好对应；若选取映轴Sn描述，六方晶系特征对称元素为C6或S3次对称轴，三方晶系特征对称元素则为C3或S6次对称轴(又因有S6必有C3，故只需列出C3)。可见选用Sn描述晶体时，六方晶系可能出现S3特征对称元素，因此轴次描述上不便于记忆，甚至容易引起混乱。因此，统一选用反轴来描述分子点群和晶体学点群并不会带来不便，这也可能是1979年北京大学谢有畅和邵美成教授出版的结构化学教材选用反轴描述分子点群和晶体点群的原因[12]。目前分子点群仍选用映轴Sn描述也许纯粹是个初始习惯问题。
4 结语
本文从循环群的生成元出发，得到映轴群Sn及反轴群In的对称操作群元素，根据映轴是否可以用其他对称元素代替，或对称操作群是否可以表示为两个子群的直积的性质，推导出了当n ≤ 6时只有S4及I4具有独立性，这种推导方式避免了图形说明繁琐和抽象，有利于学生从定义推导上理解对称元素的独立性，便于教学中推广。
补充材料：可通过链接
参考文献
