为推动我国高等教育内涵式发展，提升高等教育整体水平，我国提出了世界一流大学和世界一流学科(简称“双一流”)建设国家战略。本科教育是高等教育体系的基石，建设高质量的本科教育必然以一流水平的本科课程为支撑。在这一背景下，如何利用现代化的手段化解抽象的教学难点、增强基本原理和实践的联系、进一步提升课程教学质量，是高校教师面临的新挑战和必须解决的问题。

物理化学是化学、化工类人才培养的核心课程，在人才培养体系中起贯通基础化学知识支撑专业课程的承上启下的作用。因其理论性强、内容涵盖层面丰富、概念和公式繁多、数学基础要求高等特点，物理化学一向被认为是“教师最难教、学生最难学”的课程。为提升教学效果，已有一些教师尝试将计算模拟软件应用到物理化学等化学专业课程的教学中来。例如，陈鑫等^[1]应用Materials Studio和Matlab系列软件对过渡态理论及稳态近似法等相关知识点进行辅助教学，简化了对抽象化学理论的认知；陈广慧等^[2]将量化计算软件Gaussian 16与化学热力学、动力学知识点深度融合，帮助学生加深对相关知识的理解；吴琼^[3]将Origin软件运用到二组分水-盐相图的绘制教学中，使教学内容更为形象、生动；康明亮等^[4]和靳强等^[5]分别利用水文地球化学模拟软件PHREEQC和Visual MINTEQ建立了水溶液中的酸碱中和、沉淀溶解平衡以及化学动力学等化学过程的反应模型。这些软件的应用，或是基于教学内容体现理论联系计算化学实践，或是以图像形式使教学内容直观、可视化，显著提升了教学效果。然而，这些软件均存在应用面较为单一的问题，面对物理化学课程不同方面的教学内容，难以独立实现对所涉及问题的示例计算和可视化展示。

COMSOL Multiphysics (以下简称COMSOL)是一款可用于多物理场直接耦合模拟的软件，其原理是将研究的问题归结为方程或方程组(包括代数方程、常微分方程和偏微分方程等)，再以有限元法为基础进行离散求解，从而实现高度精确的数值仿真^[6]。COMSOL还为不同的应用领域创建了不同的专业模块，如化工方面的反应工程模块^[7]、电化学模块^[8]等，方便用户利用这些模块对相应专业问题进行求解。此外，COMSOL还具有丰富的热力学数据库，可直接调用各类物性参数(如热容、粘度、密度、生成焓等)。最后，COMSOL的图像处理功能强大，易于将计算结果以图片或动画的形式输出和展示。COMSOL的这些特点使其能够融入物理化学大部分的教学内容，实现对复杂数学问题的求解，或是对一些理论性强的内容进行可视化展示。

鉴于COMSOL丰富的基础功能，笔者所在的物理化学教学团队已尝试将其作为实际课堂教学工作的辅助工具，应用于相图、化学平衡和化学动力学等多个章节的讲授。从实际情况来看，COMSOL极大丰富了教学内容，解除了学生对繁琐数学计算的担忧，使教学内容从抽象到直观、从复杂变得简单，提高了学生学习的积极性，增强了教学效果。本文将结合COMSOL的基本功能和使用方法，列举其在物理化学课堂教学中的实际应用。

物理化学作为一门理论课程，一般不涉及反应器构型、动量及物质传递等工程问题。因此，采用COMSOL处理物理化学问题时无需考虑几何模型、网格划分等有限元分析的一般步骤，建模过程简单，结合热力学数据库和先进数值方法即可实现对常见问题的计算。本文中，我们利用COMSOL分别对相平衡、化学平衡和化学动力学三个章节中的部分教学内容进行了模拟计算，并以图像形式对所需计算结果进行展示。模型空间维度均为零维(建模不考虑反应容器的几何构型)，相图绘制通过简单调用热力学数据库的数据计算得到结果，化学平衡与化学动力学模拟计算则借助了COMSOL的化学反应工程模块。

在相平衡教学中，我们主要利用COMSOL绘制了二维及三维的二组分气液相图。软件操作过程如图 1a所示。以T–x图的绘制为例，首先从COMSOL的热力学数据库中导入拟计算的两种化学物质相转变的数据，选择适宜的方程求解气液两相混合物属性，以平衡计算函数的形式输出组分数与露点、泡点的关系，得到二维的T–x图。再通过对T–x图进行不同压力下的参数化扫描，得到三维相图。采用类似的过程可得p–x图以及相同意义的三维相图。

化学平衡教学中，我们通过软件计算展示不同反应条件对化学平衡的影响，软件操作过程如图 1b所示。首先在全局定义中导入所研究化学反应的反应物及产物的热力学数据(生成焓、熵等)；然后在反应工程模块中依次定义反应容器、初始温度及压力、反应物初始浓度、化学反应方程等，并计算至达到平衡；最后定义经验平衡常数的表述式，并基于各物质的平衡浓度进行计算，输出各参数随反应条件的变化关系。

在稳态近似法教学中，我们利用COMSOL的先进数值算法求解动力学微分方程组，通过与稳态近似法计算结果的比较，展示运用稳态近似法的合理性。软件操作过程如图 1c所示，首先在全局定义中设定所需的反应动力学参数；接下来进入反应工程模块，依次设定反应容器的初始条件(温度、压力、反应物、产物等)、化学反应方程、反应级数以及反应速率方程；最后计算并输出瞬态条件下各物种浓度随时间的变化关系。

相平衡是物理化学课程中的重要部分之一。在南京大学《物理化学》^[9]第五章相平衡一章中出现了大量组分数不同的相图。由于学生不了解绘制相图的过程，即使对于相对熟悉的气液二组分系统，也会在初学时难以理解不同坐标相图中各相区、线等所代表的意义，因此不能正确分析及应用相图。非理想液态混合物与理想液态混合物相图的差异也在一定程度上增加了学习难度。

二组分液态混合物最大自由度f为3，对应相图应为三坐标的三维立体图。为读图方便，二组分混合物的相图常在保持一个变量不变的情况下得到T–x图(温度–组成图)，p–x图(压力–组成图)和T–p图(温度–压力图)。T–x图和p–x图中相区的差异以及两种相图的相互转换对于初学者造成了一定的困难。COMSOL的热力学模块具有常见液态化合物的物化数据，我们选取苯-甲苯双液系，计算并绘制了体系的相图(图 2)。采用Wilson方程及其参数计算溶解性，对苯-甲苯的双液系分别进行以p和x为自变量和以T和x为自变量的两个平衡计算。通过指定平衡温度，调用平衡压力函数，设定组分数x的扫描步长，即可得到不同温度下包含气相和液相线的p–x图(图 2a)。对图 2a的温度区间(300–600 K)按一定步长进行扫描可得到一系列不同温度下的p–x图，将扫描的结果叠加绘图，以X轴为苯的组分数，Y轴为温度，选择压力添加高度表达式，即可绘制出三维相图(图 2b)。同理，通过指定平衡压力，遵循类似的设置，可得到T–x图(图 2c)以及相应的三维相图(图 2d)。通过COMSOL绘制的图 2，可以观测到苯-甲苯双液系随温度、压力和组成变化的全貌。此外，不难发现，图 1b和图 1d为从不同角度观测到的同一三维相图，p–x图和T–x图是三维相图的不同截面，通过“翻转”三维相图即可获得所需的p–x或T–x图。COMSOL强大的绘图能力可以帮助学生明确p–x或T–x图的关系，加深学生对两种二维相图相互转换的理解。

两种物种混合除形成理想液态混合物外，大多数情况下形成的是非理想液态混合物。与前者相比，后者的行为会与Raoult定律出现正或负偏差，相图也因此更为复杂。若能向学生展示一些常见化学物质二组分混合物的相图，学生通过比较，可以加深对理想/非理想液态混合物相图的理解和分析。COMSOL丰富的物化数据库可确保多个实例的展现。为便于对比，选取苯-甲苯和苯-甲醇双液系，均以苯的组分数x为X轴，绘制了它们的T–x图(图 3)。从有机化学知识可知，苯与甲苯结构性质相似，苯-苯、苯-甲苯和甲苯-甲苯间的相互作用基本一致；反之甲醇的存在会降低苯分子间的π–π堆积，而苯的存在又会降低甲醇分子间的氢键缔合。因此，苯和甲苯体系应无偏差，而苯-甲醇双液系发生正偏差，蒸气压有最大值而沸点有最小值。COMSOL绘制出的相图与基于有机化学知识推测出的结果一致。从加深学生印象的角度，这种采取实例、结合了基础化学知识与实验数据验证的教学方式，显然优于无实例仅有理论分析的方式。

化学平衡一章的主旨是通过运用热力学基本原理来判断化学反应的方向与限度，同时利用各类平衡常数来表示平衡时物质的数量关系。温度、压力、惰性气体对化学反应有怎样的影响，对经验平衡常数K_p、K_x等又有怎样的影响，由于内容繁多，对学生的理解与掌握造成了困难。若能将系统组成与反应进度的关系、平衡常数等随条件变化的规律等以可视化的形式展示，将知识点与图像演示相融合，无疑会让学生更直观、更深入地理解化学平衡的内容。

我们以甲醇热分解为甲醛和氢气的反应为例，通过COMSOL计算，阐明及温度和惰性气体对体系组成、吉布斯自由能变和经验平衡常数的影响(图 4)，反应方程式如下：

(1)$ {\text{C}}{{\text{H}}_3}{\text{OH}} \rightleftharpoons {{\rm{H}}} {\text{CHO}} + {{\text{H}}_{\text{2}}} $

热力学数据采用COMSOL自带的数据库，选择N₂作为惰性气体，设置反应器为1 m³的定容间歇式反应器，选择理想气体定律计算反应器中的压力，CH₃OH和N₂的初始添加量均设为1 mol。由于研究的是化学平衡，反应速率不在我们的讨论范围之内，反应速率常数均设置为1/s。

首先研究温度的影响。添加瞬态研究，对温度在300–600 K范围内进行步长为20 K的参数化扫描，计算得到不同温度下物质浓度随反应时间的变化，图 4a所示为500 K时各物质的变化曲线。当反应处于平衡状态时，在派生值栏中输入表达式计算K_p和K_x并绘制其随温度变化的曲线(图 4b和图 4c)。K_p和K_x表达式如下：

(2)$ {K_x} = \mathop \Pi \limits_{\text{B}} x_{\text{B}}^{{\nu _{\text{B}}}} $

(3)$ {K_p} = \mathop \Pi \limits_{\text{B}} p_{\text{B}}^{{\nu _{\text{B}}}} $

可以看出，随着反应时间增加，甲醇减少，而甲醛和氢气等量增加，直至反应平衡后不再变化，甲醇量无限接近于0，而甲醛和氢气的量无限接近于1；无论K_p还是K_x，二者的值均随温度的增大而增大，通过二者随温度变化的曲线，强化了温度是影响化学平衡的重要因素这一知识点。基于热力学数据库数据还可绘制出反应∆G随温度的变化趋势(图 4d)，学生可以发现该反应∆G随温度增大由正向负变化，并直观察到转化温度(即∆G = 0时的温度)，从而加深了对转化温度这一知识点的直接印象。阐明惰性气体对经验平衡常数的影响时，添加另一个瞬态研究，对N₂加入量进行0–100 mol、步长为1 mol的参数化扫描，计算K_p和K_x并绘制二者随N₂加入量的变化趋势(图 4e和图 4f)。由于设定气体为理想气体，可以看出K_p不随N₂的加入而变化，而K_x随N₂的加入而逐渐减小。通过直观比较K_p和K_x随惰性气体加入的变化，有助于激发学生对其中原因的探究和分析，从而增进教学质量。

化学动力学一章涉及大量高等数学知识，高等数学与化学反应机理结合在一起，造成了学生学习的困难。此外，由于微分方程组求解困难，即使设定了一些便于计算的假设，学生也难以对假设的合理性以及反应历程中物质浓度的变化建立直观印象。COMSOL自带的先进数值方法能够快速实现对反应历程涉及的微分方程组的求解，并以图像形式展示，从而使学生更为直观深入地理解和掌握化学动力学的内容。

在讲授稳态近似法一节时，我们以C₂H₆的热分解反应为例。C₂H₆的热分解历程涉及到5个反应和包含3个自由基在内的7个物种：

(4)$ {\text{C}}_{2}{\text{H}}_{\text{6}}\rightleftharpoons 2{\text{CH}}_{\text{3}}\cdot $

(5)$ 2{\text{CH}}_{\text{3}}\cdot {\text{ + C}}_{2}{\text{H}}_{\text{6}}\rightleftharpoons {\text{CH}}_{\text{4}}{\text{+ C}}_{2}{\text{H}}_{\text{5}}\cdot $

(6)$ {\text{C}}_{2}{\text{H}}_{\text{5}}\cdot \text{ }\rightleftharpoons {\text{ C}}_{2}{\text{H}}_{\text{4}}\text{+H}\cdot $

(7)$ \text{H}\cdot {\text{ + C}}_{2}{\text{H}}_{\text{6}}\text{ }\rightleftharpoons {\text{ C}}_{2}{\text{H}}_{\text{5}}\cdot {\text{ + H}}_{\text{2}} $

(8)$ \text{H}\cdot {\text{ + C}}_{2}{\text{H}}_{\text{5}}\cdot \text{ }\rightleftharpoons {\text{ C}}_{2}{\text{H}}_{\text{6}} $

稳态近似法的核心思路是，由于自由基中间产物化学性质活泼、浓度低、寿命短，可以近似认为自由基浓度不随时间的变化，即$ {\rm{d}}{C}_{{\rm{C}}{{\rm{H}}}_{3}\cdot }{/}\mathrm{d}t\text{= }0 $、$ {\rm{d}}{C}_{{{\rm{C}}}_{2}{{\rm{H}}}_{5}\cdot }{/}{\rm{d}}t\text{= }0 $、$ {\rm{d}}{C}_{{\rm{H}}\cdot }{/}{\rm{d}}t\text{= }0 $，这样的假设是否合理呢？通过COMSOL对整个动力学方程组进行求解，即可一目了然。

采用COMSOL计算得到了C₂H₆热分解过程中各物质浓度随时间的变化(图 5)。反应速率计算选择采用阿累尼乌斯表达式，正反应和逆反应的动力学数据查自美国国家标准与技术研究院(National Institute of Standards and Technology，NIST)动力学数据库网站。设置反应器为容积为1 m³的间歇式反应器，设定反应器温度为923 K，C₂H₆初始量为10 mol，选择瞬态研究，以0.1 s的时间步长模拟反应200 s，瞬态求解器采用COMSOL自带的MUMPS求解器。可以看出，反应初期反应速率快，反应物C₂H₆迅速消耗，然后缓慢减少(图 5a)，反应产物浓度随时间逐渐增长(图 5b)；生成自由基的浓度很低，浓度仅为反应产物浓度的万分到十万分之几(图 5c)。因此，自由基的浓度可以忽略不计，稳态近似法的处理结果与实际情况是相符合的。从这个例子可以看出合理运用COMSOL可以解决动力学过程微分方程组的求解难题，让学生直面化学反应过程，不再受数学困扰，对于学生理解和模拟化学动力学问题很有帮助。

将COMSOL应用到物理化学课程部分章节的教学后，对受众学生进行调研，得到如下反馈：

(1) 仿真软件的可视化展示，使教学内容形象、生动，容易理解。与之前以公式和文字表述的内容相比，学生学习的积极性和参与度有很大提高，也改善了学生对物理化学课程内容抽象难懂的刻板印象。

(2) 促进了学生对相平衡原理的掌握，加深了对相图实际应用的认识。通过三维相图构筑的整体印象，学生进一步明晰了T–x图和p–x图上相区差异。此外，两种液体形成混合物后具有怎样的相互作用，可以通过数据库绘制相图来对结论进行验证。

(3) 认识到化学热力学、动力学知识的重要性，在生产实践中应用广泛。既然常温下无法进行或速率很慢的反应发生可以通过升温来促进，如何升高温度才最具性价比？这类实际问题都可以结合化学热力学、动力学知识和仿真计算来给出定量解释。

(4) 建立了对计算模拟的认识，激发了对科学研究的兴趣。计算模拟软件能够通过已知的动力学数据快速实现对整个化学反应过程各物质浓度的计算，那么对于动力学数据未知的反应应该如何处理？有学生选择相关研究作为大学生创新创业计划、本科毕业设计的课题。

基于学生的反馈，我们认为COMSOL仿真计算在物理化学教学中的应用是成功的，仿真计算对于培养学生的物理化学学习兴趣、激发学生的科研创造力和想象力，都能起到良好作用。未来我们将致力于发掘COMSOL的在物理化学教学中的应用潜力，找出更多实用易懂的计算模拟示例，并考虑尝试将这一教学手段应用至其他化学专业的基础课程中，如环境化学、化工原理等课程。我们希望通过不断完善可视化计算模拟的课堂演示，使之成为提升化学专业课程教学质量的有效途径。