为培养适合当前科技发展的创新型复合人才，多数院校开展了通识教育课程改革^{[1, 2]}。在加强专业基础课程教学的同时，在本科阶段全面推进通识素质教育，充分贯彻与执行当前我国对基础教育改革的指导方针和政策，秉承“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的理念。多学科交叉融合可以激发学生的学习兴趣，训练学生的创新思维。

量子概念提出迄今已有120年的历史，量子力学催生出各种先进技术与产品。虽然量子力学的基础理论起源于西方，但是我国在量子计算机、量子通讯等最前沿应用领域取得了举世瞩目的成果^{[3, 4]}。然而，除了物理、化学等专业的少数学生之外，大多数本科生乃至研究生对量子力学的认识仍停留在“遇事不决、量子力学；解释不通，穿越时空；脑洞不够，平行宇宙”等所谓的“美剧逻辑”层面。

以学生对量子世界的好奇心为出发点，我校开设了“量子世界探秘”通识教育课程^[5]，旨在对非物理或化学专业的本科生进行量子通识教育。通过讲解生活中各种量子现象，由浅入深地揭示量子世界的神秘规律，指导学生认识量子世界、探索量子世界的客观规律。同时，引导学生将专业学科知识与量子力学原理贯穿并融合，体验学科交叉带来的创新式思维冲击。自2013年以来，已经有超过1500人选修了该通识课程，表 1给出了近3年的选修人数及其学科专业分布。其中，人文社科专业占32%、理工专业占36% (少数物理与化学专业的选修不计学分)、信息科学专业占25%，医学专业占7%。可以看出，量子力学在所有学科专业中均受到关注，即使人文社科专业的学生，对量子力学的热衷程度并不亚于理工专业学生。各学科选修“量子世界探秘”通识课的人数前三位的专业分布也列于表 1中。选修人数最多的专业包括新闻与传播、艺术、经济管理、信息管理、资源与环境、数学与统计、水利水电、城市设计、动力与机械、计算机、测绘等，其中以经济与管理、计算机专业人数最多。这与量子力学在经济学、资源与环境、计算机科学等领域的日益广泛应用有关，一些新型学科专业包括量子经济学、量子计算、量子通讯等相继诞生。值得指出的是，生命科学与药学专业的选修人数并不理想，反映出这些领域的量子力学应用尚未引起足够的重视，存在较大的提升空间。

众所周知，即使对于物理或化学专业的学生，量子力学仍是一门晦涩难懂的理论课程。量子力学的基本概念足以令人望而却步，更不用说演算极其复杂的波动方程。人文社科、工学、信息科学等专业的学生基本没有受到系统性的量子物理教育，相应的理论基础普遍较为薄弱。另外，通识课程的学时一般较短(32学时)，难以在有限的时间内展开专业级的量子力学教学。因此，在“量子世界探秘”的课堂上不可能采用传统专业教学模式。我们以量子科学家的传奇故事为引子，基于科学文献，从见识、知识、认识三个层面讲述量子的历史、现状以及未来发展趋势，帮助学生开阔视野，引导学生紧跟当前最前沿量子科学技术发展的步伐。为了帮助学生理解并初步掌握量子力学的关键知识点，我们采用了“类比”教学方法，取得了较为满意的教学效果，获得了选课学生的普遍认可。

事实上，“类比”一直是量子力学研究的重要工具与利器。最著名的类比应是“薛定谔猫”对量子叠加态的描述。在量子世界里，任何物质均同时处于很多本征状态的叠加，只有对该叠加态进行观测的时候，才可能测量到其中的一个本征态(即叠加态坍缩)。为了描述这一奇特量子现象，Schrödinger以“箱子中的猫”为类比。量子世界里的“猫”是生与死两种本征态的叠加态，即既死又活的“猫”：

$\mathit{\Psi}(\text { 猫 })=c_{ {生\psi {{生 }} }} +c_{ {死 \psi { 死 } }}$

当打开盖子(观测)时，量子猫则变为ψ_生或ψ_死的本征态。不仅教学与科普，“薛定谔猫”这一经典“类比”甚至经常出现在学术文献中，例如人们在实验室里已经制备出各种“薛定谔猫态”，并初步实现了对“薛定谔猫”的量子控制^{[6, 7]}。另一个类比的例子出现在著名的Bohr-Einstein争论中。对于“只有观测才导致存在”这一不可思议的量子力学观点，Einstein曾用“赏月”类比，提出“Do you really think the moon isn’t there if you aren’t looking at it？(不看月亮的时候你真认为它不在天上么？)”，这个类比与他的名言“上帝不掷骰子”有异曲同工之妙。

为了向学生充分展示量子世界的奥秘，进而启发学生的创新思维，我们将“薛定谔猫”的类比思想推广应用到量子力学的通识教育中，提出概念类比与文化类比两种教学方法。“量子世界探秘”的教学实践表明，“类比”教学方法能够帮助非物理或非化学专业的选修学生在尽可能短的时间内理解并掌握量子力学的基本概念与原理，并能够激发学生对量子世界的主动思考。

与复杂的波动方程(例如：Schrödinger方程、Dirac方程)相比，量子力学的理论概念显得更为深奥、难以理解甚至难以接受。Niels Bohr曾经说过“Anyone who is not shocked by quantum theory has not understood it (不被量子理论所震撼的人则不懂她)”为了让几乎“零”基础的学生正确理解量子世界的各种基本概念，同时避免陷入“不可知论”的困境，我们设计了一系列类比概念，极大缓解了量子力学入门难的问题。

量子世界与经典世界完全不同，不能直接套用经典力学概念理解或解释量子力学概念。我们从量子世界的关键特征出发，以“人类社会”类比“量子社会”，如表 2所示，将量子力学概念引申到容易理解的人文社会概念，不仅降低了学习难度，而且显著提高了学生的积极性，激发了学生进一步引申并独立思考的潜力。

量子力学中的许多概念都可以在现实世界中找到合适的类比对象。例如描述物质结构与能量变化的“势能面(Potential Energy Surface)”，它是基于Born-Oppenheimer近似研究系统能量随分子结构变化关系的重要概念，在化学反应、分子模拟、光-物质相互作用等领域至关重要，也是量子化学计算的核心。势能面的建立涉及深奥的专业知识，无相关物理与化学基础难以理解。我们以“地图”类比“势能面”则很好地解决了这一难题。现实世界中，陌生环境中的人们需要地图指引，沿最佳路线到达目的地；量子世界中则以“分子地图”为指引，并依此设计最优化路线开展实验，从而发现各种新结构、新材料。地图是三维的，需要测绘技术；分子地图则是多维度的超曲面，需要求解波动方程(即对“态”进行测量)获得。通过类比，学生甚至自行设计了各自学科专业的“量子地图”，切实发挥了通识教育的学科交叉碰撞作用。

量子力学中关于叠加态的概念一直广受关注。基于“薛定谔猫”，文献中曾引申出各种改进版本，例如2014年Nature Physics曾发表了Gary Cuba撰写的科幻论文“How to lose the one you love (如何失去你的心上人)”^[8]。我们以“量子幻象(Quantum Mirages)”研究结果为基础^[9]，提出了“量子婚姻(Quantum Marriage)”的类比，即以“如何找到你的心上人”类比量子幻象。实验首先在Cu(111)晶面上用Co原子形成椭圆形的“量子围栏”，然后发现只有当将1个Co原子放置在椭圆的焦点位置时，另一个焦点上才能出现因Kondo共振导致的量子幻象。这种现象的本质来源于电子波动性与量子态叠加。用“量子婚姻”做类比则可以很容易理解：椭圆形的区域为合适的环境条件，椭圆焦点则为合适的地点。只有在合适的地点与合适的时间，你的心上人才能自然出现。错过任何一个条件，则无法观测到另一半。

除了概念类比，针对学生的人文社科背景以及理工学生对人文的普遍喜爱，我们设计了“文化类比”教学方法，即将量子力学理论与中国传统文化做类比，从成语、谚语、甚至俗语中找到与量子力学理论相通的切入点。虽然量子力学源于西方科学体系，但我国的传统文化博大精深，其中并不乏充满量子力学思想的闪光点。

以量子力学叠加态本性为例，与之相关的成语包括：眼见为实——用眼睛(可以理解为观测仪器)观测才能知道真相；车到山前必有路——山即为最终前行路线的“观测仪器”。又譬如“如影随形”可以用于描述物质波或波粒二象性：形代表粒子性，影代表波动性；影子是光投射后形成的波，虽然它不是真实存在的(不传递能量)，但是可以用影子的运动描述形体状态的变化规律，求解影子的运动方程，即可获得形体的信息，反之亦然。表 3给出了一些传统文化与量子力学理论的类比关系。

以零点能为例详细说明。零点能是物质的本性，可以通过求解Schrödinger方程获得，但计算过于复杂，无法被基础薄弱的通识课学生特别是人文社科专业学生理解或接受。我们设计了一种简单的算法，揭示了零点能“无中生有”的机制。

在绝对零度时，原子都被“冻”住，即在平衡位置位置(x = 0)静止不动(p = 0)。然而根据测不准原理，此时的位置与动量应分别为：

$\begin{array}{l}x = 0 + \Delta x\\p = 0 + \Delta p\end{array}$

可以看出体系存在残余能量E，即所谓的零点能：

$E = V + T = \frac{1}{2}k\Delta {x^2} + \frac{1}{{2m}}\Delta {p^2}$

其中k、m分别为势能力常数与质量。根据测不准原理公式：$\sqrt {\left\langle {\Delta {x^2}} \right\rangle } \cdot \sqrt {\left\langle {\Delta {p^2}} \right\rangle } \ge \frac{\hbar }{2}$，可得：

$\left\langle {\frac{1}{2}k\Delta {x^2}} \right\rangle \left\langle {\frac{1}{{2m}}\Delta {p^2}} \right\rangle \ge {\left( {\frac{\hbar }{4}} \right)^2}\frac{k}{m}$

应用简单变换关系：$a+b \geq 2 \sqrt{a b}$，则有：

$E \ge \frac{\hbar }{2}\sqrt {\frac{k}{m}} = \frac{{\hbar \omega }}{2} = \frac{1}{2}hv$

其中v为振动频率，即证明零点能为振动频率的一半，与Schrödinger方程的计算结果完全一致。

在量子力学通识教育中引入中国传统文化因素，激发了学生学习量子力学的热情，大部分学生突破了学习基础理论知识的心理壁垒，增强了学习的主动性。年末选课学生曾掀起为量子世界写对联的热潮，其中不乏优秀作品。例如，上联：普朗克举奇量勇照黑体；下联：薛定谔驱怪猫巧送方程；横批：经典莫入。从中可以看出学生对量子力学的认识已经达到了一定的专业准度与深度。

值得注意的是，并非所有的量子力学概念都可以类比，更不能随意类比，否则容易产生歧义。例如，隧道效应是一种纯粹的量子现象，虽然称为隧道效应，却不适合用经典的“隧道”类比。如果将隧道效应理解为因能量不够而“穿越隧道”的传统图像，则会产生严重误导。事实上无论能量高低均存在隧道效应，且隧穿系数截然不同。再例如自旋也是一种纯粹量子现象，不能简单用“旋转的地球”做类比，因为量子自旋态与空间旋转运动并不相类似。

采用类比方法开展量子力学的通识教学，能够在一定程度上解决学生基础弱、课程理论强的矛盾，有效避免了学生在接触深奥专业理论知识时产生的排斥心理，促进了学习兴趣与积极性、主动性的提高。类比教学法可以推广应用到其他所有通识课程，将各学科门类融会贯通，真正实现通识教学效果，为培养全方位创新型复合人才奠定基础。