单形是晶体学中的一个重要概念。一个面经点群对称动作完整操作后形成的形状就是单形。单形中各面同形、等大。有的单形非常简单，比如三斜和单斜点群的单面、平行双面和相交双面，正交、四方和三方、六方中的单锥、双锥、柱；有些较为复杂，如复锥、复双锥、复柱、四面体、八面体；有些则较为难以想象，比如立方点群的五角三八面体、五角三四面体和五角十二面体等。在教学实践中发现，这些复杂形状对于很多学生简直是噩梦。因此，如何让学生更容易且清晰地理解这些形状是单形教学中的一个难点。
Diamond软件是一款功能非常强大的晶体结构绘图软件，在对称性教学[1, 2]、原子堆积模型教学[3]、配位化学教学[4, 5]、X射线衍射教学[6, 7]，甚至蛋白质教学[8]中都有应用。用Diamond软件构造晶体结构模型时，只能输入点的坐标，而不能直接输入晶面指数以得到单形。从单形的定义可知，其顶点常位于对称元素上。因此，可以通过输入点的坐标，用Diamond软件中构造多面体的功能来得到单形。而且，抓住了位于对称元素上的顶点这一关键信息，在单形教学和理解上也很有帮助。下面以单形五角三四面体的构造来说明相关问题。关于Diamond软件的使用，可参考文章《晶体结构模型软件Diamond的使用技巧》[9]。
图 1a是已经构造好的一个单形五角三四面体。五角三四面体的对称性点群是23，但Diamond软件中只提供空间群，所以首先要选取合适的空间群。如果考虑简单格子的一个晶胞，则其空间群与点群23相当，故可选用P23空间群来构造五角三四面体。五角三四面体的顶点有位于三次轴上的，即图 1中的顶点1和3；也有不位于任何对称元素上的，即顶点2。顶点1和3虽然都位于三次轴上，但距离中心的距离并不相同。所以，在选择坐标时顶点1和3都选位置对称性为.3.的等效点系4e，但坐标取不同的值。此处用的坐标值分别为4e (0.255)和4e (0.705)。而顶点2不位于任何对称元素上，故只能选一般等效点系12j。但是，因为要求顶点1、3和三个顶点2共面，所以当顶点1、3的值选定后，顶点2的坐标值并不能随意填写。这需要经过多次尝试，此处确定的顶点2坐标值是12j (0.63, 0.47, 0.87)。
图1
图1
用Diamond软件构造的五角三四面体模型
(a) 单形五角三四面体；(b) 将一个面标记为F1并设计为红色的五角三四面体；(c) 顶点2的x和y坐标值互换后形成的五角三四面体，其是b图中单形的对映体，二者呈镜面对称关系。电子版为彩图
设置好顶点坐标后，填充一个晶胞，就可以构造五角三四面体多面体。多面体的构造方式有两种：(1) 选中所有的原子，使用Build|Polyhedral|Construct Polyhedron功能，一键构造出整个五角三四面体。(2) 选择共面的顶点1、3和三个2，使用相同的功能构造出一个面，此时在面中心会出现一个Dummy原子。把所有的原子都删除后，再次填充一个晶胞。用Build|Polyhedral|Add Polyhedron功能，以Dummy原子为中心，以1、2、3顶点为配位原子构造多面体。方式(2)的优点是：a) 可以用Objects|Atom Labels功能为每个Dummy原子编号，即相当于为每个面编号。如果不想显示某些或某种原子而只显示编号，把它们的半径设为0.001即可。如果想使得顶点和Dummy等所有原子都不可见而只显示编号，则可使用Picture|Hide|Hide all atoms功能。b) 可以对每个面单独操作，比如设计其颜色、透明度等，以方便观察和区分。图 1b显示的就是以方式2构造的五角三四面体，在其中所有Dummy原子均不可见，一个面编号为F1，并将其设计为红色。对于23这样不存在对称中心的点群，其单形具有手性，有左右形之分。左右形成对映关系，不能通过旋转等操作重合。在Diamond软件中，构造出一个单形的对映体非常简单，只需把不在对称元素上的顶点的x、y坐标值互换即可。图 1c显示了图 1b所示单形的对映体。从中很容易看出它们之间的镜面对称关系。
完成模型制作后，点击File|Save可将模型保存。如果想保存模型的图片，则点击File|Save|Save Graphics As，在弹出框中将文件保存为所需格式即可。按照这种方法，可以构造出所有47种单形，并且根据自己的需要对顶点和面标识，比如标记出顶点所在对称元素并编号。由于可以很清晰地标识位于对称元素上的顶点，在教学过程中，教师在课上可以很方便地解释各面之间的对称关系，学生在课下也可以自己操作，从不同方向观察模型，加深对单形形状及对称性的认识。表 1给出了构造各单形所需的空间群及相关顶点参数。对于像五角三四面体这种对坐标有特殊要求的情况，表中给出了笔者所确定的坐标供读者参考。在表 1中，列出了所有47种单形。但对于单面、平行双面和二面体，因为形状过于简单，并未给出构造相应单形所需的参数。
表1 构造47种单形所用空间群及顶点坐标∇
| 序号 | 单形 | 所用空间群 | 顶点坐标 |
| 1 | 单面 | ||
| 2 | 平行双面 | ||
| 3 | 二面体 | ||
| 4 | 斜方四面体 | P222 | 4u |
| 5 | 斜方锥 | Pmm2 | 1d；2h；2f |
| 6 | 斜方柱 | Pmmm | 4v；4x |
| 7 | 斜方双锥 | Pmmm | 2l；2p；2t |
| 8 | 四方锥 | P4mm | 1b；4d |
| 9 | 四方四面体 | P | 4n |
| 10 | 四方柱 | P4/mmm | 8r |
| 11 | 四方偏方面体 | P422 | 2h (0.165)；8p (0.28, 0.37, 0.45) |
| 12 | 复四方单锥 | P4mm | 1b；4d；4f |
| 13 | 四方偏三角面体 | P | 2h；4n |
| 14 | 四方双锥 | P4/mmm | 2h；4k |
| 15 | 复四方柱 | P4/mmm | 8r；8t |
| 16 | 复四方双锥 | P4/mmm | 2h；4k；4o |
| 17 | 三方锥 | R3m | 1a；3b |
| 18 | 三方柱* | P | 12l |
| 19 | 三方偏方面体 | R32 | 2c (0.18)；6f (0.12, 0.3, 0.82) |
| 20 | 复三方锥 | R3m | 1a；3b；3b & |
| 21 | 菱面体 | R | 1a |
| 22 | 复三方柱* | P | 12l；12l & |
| 23 | 六方锥§ | P6mm | 1a；6e |
| 24 | 三方双锥* | P | 4h；6k |
| 25 | 六方柱§ | P6/mmm | 12o |
| 26 | 复三方偏三角面体 | R | 2c；6h |
| 27 | 六方偏方面体§ | P622 | 1a；12n (0.455, 0.12, 0.468) |
| 28 | 复六方锥§ | P6mm | 1a；6d；6e；6d；6e |
| 29 | 复三方双锥* | P | 4h；6k；6k & |
| 30 | 复六方柱§ | P6/mmm | 12n；12o & |
| 31 | 六方双锥§ | P6/mmm | 2e；6m |
| 32 | 复六方双锥§ | P6/mmm | 2e；6k；6m |
| 33 | 四面体 | P | 8g |
| 34 | 立方体 | Pm | 4e |
| 35 | 八面体 | Pm | 6f |
| 36 | 五角三四面体 | P23 | 4e (0.255)；4e (0.705)；12j (0.63, 0.47, 0.87) |
| 37 | 五角十二面体 | Pm | 8i (1/3)；12k (0.605, 0.77) |
| 38 | 四角三四面体 | P | 4e (0.7)；4e (0.215)；6g (0.03) |
| 39 | 三角三四面体 | P | 4e (0.2)；4e (0.9) |
| 40 | 菱形十二面体 | Pm | 3c；8g (0.77) |
| 41 | 偏方复十二面体 | Pm | 6h (0.15)；8i (0.3)；12k (0.2, 0.3) |
| 42 | 三角三八面体 | Pm | 6f (0.32)；8g (0.05) |
| 43 | 四角三八面体 | Pm | 6f (0.05)；8g (0.25)；12j (0.8) |
| 44 | 五角三八面体 | P432 | 6f (0.095)；8g (0.304)；24k (0.2, 0.315, 0.45) |
| 45 | 六四面体 | P | 4e (0.23)；4e (0.7)；6g (0.9) |
| 46 | 四六面体 | Pm | 6f (0.2)；8g (0.7) |
| 47 | 六八面体 | Pm | 3c；8g (0.2)；12j (0.15) |
∇所有坐标均按晶体学习惯使用分数坐标，对特殊等效点系，只给出待定坐标。∗由于所用空间群的格子类型是六方，故用所给数据在每个晶胞中可做出两个单形。 &两者的x、y不相等，z坐标相等。§因为软件中六方晶胞并不取四轴坐标系，所以要用到xy平面的四个单胞。
